Expressão Simétrica

por Nat' Seg 02 Jul 2012, 13:23

Alguém me ajuda com essa aí?

Fatore:

ax"elevado a 4" + bx³ + cx² + bx + a

Agradeço dede já! :cherry:

por **Robson Jr.** Seg 02 Jul 2012, 14:25

Sendo a expressão um polinômio, podemos fatorá-la. encontrando as raízes.

$\small ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0\\ \rightarrow ax^2+bx+c+ \frac{b}{x}+ \frac{a}{x^2}=0\\ \rightarrow a(x^2+\frac{1}{x^2})+ c+b(x+\frac{1}{x}) =0$

Vamos fazer uma mudança de variável:

$\small y = x+ \frac{1}{x} \\ \rightarrow y^2-2 = x^2+ \frac{1}{x^2}$

Aplicando:

$\small a(y^2-2)+by+c=0\\ \rightarrow ay^2+by-2a+c=0\\ \rightarrow y= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4a(-2a+c)}}{2a}\\ \rightarrow y=\frac{-b\pm \sqrt{b^2+8a-4ac}}{2a}\\ \rightarrow x+\frac{1}{x}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2+8a-4ac}}{2a}$

A ideia era resolver essa equação final e escrever o polinômio no formato a(x - x')(x - x'')(x - x''')(x - x''''), mas o resultado vai ser monstruoso. ^^

Em que formato está a resposta da questão?

por Nat' Seg 02 Jul 2012, 14:38

A resposta final é a seguinte:

[x² + (b/2a)x +1]² - {[b² - 4a(c-2a)] / 4a²}x²

por **Robson Jr.** Seg 02 Jul 2012, 15:13

Fatorar é transformar uma soma de termos em um produto. Mas já entendi onde a questão quer chegar.

Continuando de onde parei no último post:

$\small x+\frac{1}{x}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+8a-4ac}}{2a}\\ \rightarrow x^2+ 1 = \frac{-b}{2a}x \pm \frac{x\sqrt{b^2-4a(c-2a)}}{2a}\\ \rightarrow x^2+x\frac{b}{2a}+1=\pm \frac{x\sqrt{b^2-4a(c-2a)}}{2a}\\ \rightarrow (x^2+x\frac{b}{2a}+1)^2=x^2\frac{b^2-4a(c-2a)}{4a^2}\\ \rightarrow (x^2+x\frac{b}{2a}+1)^2 - x^2\frac{b^2-4a(c-2a)}{4a^2}$