Análise combinatória

por Lilian Cristina da Costa Seg 02 Abr 2012, 19:24

Em um corredor há 900 armários, numerados de 1 a 900, inicialmente todos fechados. 900 pessoas, numeradas de 1 a 900, atravessam o corredor.A pessoa de número k reverte o estado de todos os armários cujos números são múltiplos de k. Por exemplo, a pessoa de número 4 mexe nos armários 4, 12 , ..., 900 abrindo os que encontra fechados e fechando os que encontra abertos. Ao final quais armários ficarão abertos? affraid

por rihan Seg 02 Abr 2012, 21:47

Começar por um exemplo pequeno para compreender e "sentir" o problema.

Que tal 9 armários, 9 pessoas... é uma, né ?

por **parofi** Ter 03 Abr 2012, 13:05

Olá!
Os armários que ficam abertos são apenas aqueles cujos números são quadrados perfeitos:1, 4, 9, 16,....841,900.
Já demonstrei isso. Uma dica: o problema tem a ver com Teoria dos Números e não com Análise Combinatória. Tentem provar isso.

Um pequeno exemplo com 9 números: (A-aberto; F-fechado)
após pessoa 1:A A A A A A A A A
após pessoa 2:A F A F A F A F A
após pessoa 3:A F F F A A A F F
após pessoa 4:A F F A A A A A F
após pessoa 5:A F F A F A A A F
após pessoa 6:A F F A F F A A F
após pessoa 7:A F F A F F F A F
após pessoa 8:A F F A F F F F F
após pessoa 9:A F F A F F F F A

por rihan Ter 03 Abr 2012, 13:41

Agora Lílian !!! Vamos Lá !!!

por Lilian Cristina da Costa Qua 18 Abr 2012, 18:20

1° pessoa abre todos.
2° pessoa fecha somente os pares
3° pessoa fecha os armários múltiplos de três ímpares e abre os pares
4° pessoa abre o quarto e o oitavo
5° fecha o quinto
6° fecha o seis
7° fecha o sétimo
8° fecha o oitavo
9° abre o nono

Percebe-se que os armários 1, 4 e 9 ficam abertos, (são números quadrados perfeitos que ficam abertos) Por que o número de pessoas que passa por eles é ímpar.

Agora verificamos quantos quadrados perfeitos temos entre 1 e 900.
1, 4, 16, 25, 36 , 49 ,64 , 81 , ...., 900
São 30 . Então temos 30 armários abertos

por rihan Qua 18 Abr 2012, 19:45

por Lilian Cristina da Costa Qui 19 Abr 2012, 12:05

Esse sorriso quer dizer o que?
Minha resolução está correta?
Esta questão é de um trabalho e vale 5 preciosos pontos.
Um colega discordou, ele acha que ficarão abertos somente os múltiplos de 4.

por rihan Qui 19 Abr 2012, 19:00

Você tem duas opções:

Ou convence ao seu colega que a sua solução está correta, ou que a dele está errada...

Mas é necessário você demonstrar que vale para além de 9...