Equação Trigonométrica

por PedroMinsk Sex 9 Out - 11:12

A soma de todas as soluções distintas da equação
cos 3x + 2 cos 6x + cos 9x = 0,
que estão no intervalo 0 <= x <= pi/2, é igual a

a) 2pi
b) (23/12)pi
c) (9/6) pi
d) (7/6) pi
e) (13/12) pi

por **Jose Carlos** Sex 9 Out - 16:13

Olá,

cos 3x + 2*cos 6x + cos 9x = 0

cos 3x + cos 9x + 2*cos 6x = 0

2*cos 6x * cos 3x + 2*cos 6x = 0

2*cos 6x*( cos 3x + 1 ) = 0

2*cos 6x = 0 => cos 6x = 0 => 6x = (pi/2) + k*pi => x = (pi/12) + k*pi/6 , k E Z

k = 0 => x = pi/12

k = 1 => x = (pi/12) + (pi/6) = 3*pi/12

k = 2 => x = (pi/12) + pi/3 = 5*pi/12

2*cos 3x = -1 => cos 3x = - 1/2 => 3x = pi => x = pi/3

k = 0 => x = pi/3

k = 1 => x = pi + 2*pi ( não )

Logo:

S = (pi/12) + (3*pi/12) + (5*pi/12) + (pi/3) = (9*pi)/12 + (pi/3) = 13*pi/12

Um abraço.

por PedroMinsk Sex 9 Out - 18:47

Não entendi essa passagem:

cos 3x + cos 9x + 2*cos 6x = 0

para

2*cos 6x * cos 3x + 2*cos 6x = 0

por **Jose Carlos** Sex 9 Out - 23:28

Olá Pedro,

Eu usei a transformação de soma em produto:

cos a + cos b = 2*cos [( a + b )/2 ]*cos [( a - b )/2 ]

Um grande abraço.

por PedroMinsk Sáb 10 Out - 15:36

Não conhecia essa fórmula. Dei uma pesquisada sobre ela. Obrigado.

por Márcia_Queiroz_ Dom 2 Mar - 19:44

Achei fácil tb essa resolução

Fazendo-se 3x = a na equação

cos 3x + 2 · cos 6x + cos 9x = 0
cos a + 2 · cos 2a + cos 3a = 0
2 · cos 2a + 2 · cos [(3a+a)/2]· cos [(3a-a)/2] = 0
2 · cos 2a + 2 · cos 2a · cos a = 0
2 · cos 2a · (1 + cos a) = 0
cos 2a = 0 ou cos a = –1

Portanto: cos 6x = 0 ou cos 3x = –1

6x = π/2 + kπ ou 3x = π + k 2π, (k ∈ Z)
x = π/12 + k (π/6) ou x = π/3 + k. (2π/3), (k ∈ Z)

Para 0 ≤ x ≤ π/2, a soma de todas as soluções distintas é:

S = π/12 + π/4 + 5π/12 + π/3
S = 13π/12