Combinação

De quantas maneiras podemos dividir 10 homens em quatro grupos, dois deles contendo 3 homens e os outros dois contendo 2 homens cada um?

Primeiro escolhamos 2 dos 10, o que se faz de C10,2 = 45 formas. Depois, 2 dos 8, de C8,2 = 28 formas. Até aí, parece que a quantidade é de 45 . 28 = 1260, mas estamos contando permutações entre os grupos. Para fixar ideias, escolha 1 e 2 pra um e 3 e 4 pro outro. Da maneira que fazemos podemos ter G1: {1,2} e G2: {3,4} ||| G1: {3,4} e G2: {1,2}, que são essencialmente a mesma configuração. Logo, dividimos pelas formas de ordenar os grupos, isto é, de 2! = 2 formas => P1 = 630.
Depois, escolhemos 3 dos 6, de 20 formas e os outros 3 já ficam definidos de 1 forma (C3,3). Dividimos novamente pelo número de permutações entre grupos, 2!, => P2 = 10.
Logo a resposta é 6300.

Lipo, perdõe-me a ignorância, mas como escolhendo {1,2} para G1 e {3,4} para G2 podemos ter {1,2} para G3  e {3,4} para G1...?! Tenhos grandes dificuldade com combinação... Está claro que cada combinação de um grupo se combina com cada combinação de outro grupo, mas não ficou muito claro para mim como a inversão que você propõe seria possível...

Eu só me preocupo com essa permutação entre os grupos quando eles são de mesmo tipo, isto é, quando têm a mesma quantidade de elementos. Como eu formo G1 e G2 com duas pessoas e G3 e G4 com três, me preocupo com os dois primeiros (que têm 2 pessoas) e com os dois últimos (que têm 3 pessoas).
Vou propor outra questão:
Dadas 10 pessoas, formar 5 grupos com 2 duas pessoas cada.
Nesse caso, todos os G1, G2, G3, G4, G5, são de mesma quantidade, então vou me preocupar com as permutações entre os cinco, que são 5! = 120.
Logo:
1. Escolho 2 em 10, C10,2
2. Escolho 2 em 8, C8,2
...
5. Escolho 2 em 2, C2,2
6. Desconsidero as permutações entre os grupos, 5! = 120
=> S = 1/120 . C10,2 . C8,2 . ... C2,2 = 1/120 45 . 28 . 15 . 6 . 1 = 945

Intuitivamente, entendi que parece que você se refere à necessidade de exclui uma espécie de combinação "inversa" que ocorre automaticamente com permutações entre conjuntos com a mesma quantidade de elementos, seria isso mesmo...?! Em uma permutação de 6!, por exemplo, essa permutação "inversa" não ocorre, pois ela se dá entre elementos diferentes (sequenciais), como 6.5.4!..., seria isso...?!


Lipo, vejo que você tem excelente domínio de Análise combinatória e Probabilidade... Será que você poderia me sugerir meios gerais para ler e interpretar problemas e questões envolvendo esses tipos de assuntos adequadamente...?! Estou percebendo que a interpretação é MUITÍSSIMO importante e decisiva em combinatória e, a sua teoria, que é dada em poucas páginas, está muito longe de ser suficiente ao êxito na resolução destas questões... Irei postar uma outra questão de combinatória, aqui neste fórum, cuja resolução, creio, que exigirá SUPREMA capacidade interpretativa... Imagino que ela deixará bem claro o que estou dizendo...