Geometria Analítica (elipses e hipérboles)

(Questão dissertativa) (VUNESP) Determine a equação do lugar geométrico (x; y) de [latex]R^{2}[/latex] cujo valor absoluto da diferença das distâncias aos dois pontos (0; 5) e (0; -5) é constante, igual a 8.

Gabarito:

O lugar geométrico pedido é uma hipérbole. Para determinarmos a sua equação, vamos considerar os dados fornecidos no problema:
Os focos da hipérbole são os pontos \( F_1 = (0, 5) \) e \( F_2 = (0, -5) \). A diferença das distâncias de qualquer ponto \( (x, y) \) da hipérbole a esses focos é constante e igual a 8.

A equação de uma hipérbole cujos focos estão ao longo do eixo \( y \) e cujo centro está na origem pode ser escrita como:
\[ |d_1 - d_2| = 2a \]
onde \( d_1 \) é a distância de \( (x, y) \) a \( (0, 5) \), \( d_2 \) é a distância de \( (x, y) \) a \( (0, -5) \), e \( 2a \) é a constante dada, que é 8.

Assim, \( a = 4 \).

As distâncias \( d_1 \) e \( d_2 \) são dadas por:
\[
\begin{aligned}
d_1 &= \sqrt{x^2 + (y - 5)^2} \\
d_2 &= \sqrt{x^2 + (y + 5)^2}
\end{aligned}
\]
A condição dada no problema é:
\[ |\sqrt{x^2 + (y - 5)^2} - \sqrt{x^2 + (y + 5)^2}| = 8 \]
Para simplificar a determinação da equação da hipérbole, usamos a definição e propriedades da hipérbole. Sabemos que, para uma hipérbole com focos ao longo do eixo \( y \), a equação geral é:
\[ \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \]
Aqui, \( 2c \) é a distância entre os focos, onde \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \). No nosso caso, a distância entre os focos é 10 (de \((0, 5)\) até \((0, -5)\)), então \( 2c = 10 \) ou \( c = 5 \).

Sabendo que \( c^2 = a^2 + b^2 \), temos:
\[
\begin{aligned}
5^2 &= 4^2 + b^2 \\
25 &= 16 + b^2 \\
b^2 &= 9 \\
b &= 3
\end{aligned}
\]
Portanto, a equação da hipérbole é:
\[ \frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{9} = 1 \]
Esta é a equação do lugar geométrico pedido.