Iezzi 3 volumes exercício 22 função modular

Construa o gráfico da função f definida em R dada por f(x) = ||-2x+2|-1|, destacando suas raízes e seu conjunto imagem.

Gabarito:

Análise do gráfico: 1. Raízes da função: As raízes da função são os valores de \( x \) para os quais \( f(x) = 0 \). No gráfico, as raízes são destacadas em vermelho: \[ x = 0.5 \quad \text{e} \quad x = 1.5 \] 2. Conjunto imagem: O conjunto imagem da função é o conjunto de todos os valores possíveis de \( f(x) \). No gráfico, o intervalo do conjunto imagem é destacado em verde: \[ y \geq 0 \] Passo a passo para montar o gráfico da função \( f(x) = ||-2x+2|-1| \): 1. Análise do módulo interno: \[ |-2x + 2| \] Este módulo pode ser analisado separadamente para determinar seu comportamento em diferentes intervalos de \( x \). - Para \( -2x + 2 \geq 0 \) (ou seja, \( x \leq 1 \)): \[ |-2x + 2| = -2x + 2 \] - Para \( -2x + 2 < 0 \) (ou seja, \( x > 1 \)): \[ |-2x + 2| = 2x - 2 \] 2. Análise do módulo externo: \[ ||-2x + 2|-1| \] Usamos os resultados do módulo interno para analisar o módulo externo. - Para \( x \leq 1 \): \[ |-2x + 2| = -2x + 2 \] Portanto, \[ |-2x + 2|-1 = |(-2x + 2) - 1| = |-2x + 1| \] - Para \( x > 1 \): \[ |-2x + 2| = 2x - 2 \] Portanto, \[ |-2x + 2|-1 = |(2x - 2) - 1| = |2x - 3| \] 3. Simplificação do módulo externo: Vamos simplificar as expressões resultantes do módulo externo. - Para \( x \leq 0.5 \): \[ |-2x + 1| = 1 - 2x \] - Para \( 0.5 < x \leq 1.5 \): \[ |-2x + 1| = 2x - 1 \] - Para \( x > 1.5 \): \[ |2x - 3| = 2x - 3 \] 4. Construção do gráfico: Agora que temos as expressões simplificadas, podemos construir o gráfico: - Para \( x \leq 0.5 \): \[ f(x) = 1 - 2x \] - Para \( 0.5 < x \leq 1.5 \): \[ f(x) = 2x - 1 \] - Para \( x > 1.5 \): \[ f(x) = 2x - 3 \] 5. Determinação das raízes e conjunto imagem: - As raízes da função ocorrem quando \( f(x) = 0 \): \[ 1 - 2x = 0 \implies x = 0.5 \] \[ 2x - 1 = 0 \implies x = 0.5 \quad \text{(já considerado)} \] \[ 2x - 3 = 0 \implies x = 1.5 \] - Conjunto imagem: A função atinge seu valor mínimo de 0 e pode se estender indefinidamente para cima, já que não há limite superior: \[ y \geq 0 \]