Provar que a função é sobrejetora:

Seja A = P({1, 2, 3}) o conjunto das partes do conjunto {1, 2, 3}. Considere a função f : A → A dada por f(S) =  S ∪ {2}, se 2 ∉ S;
                                                                                                                                                                    S − {2}, se 2 ∈ S;

Considerando a composição f ◦ f, prove que f é uma função bijetora.

Considerando fof, vale sempre fof(S) = S. Isso porque caso S não tenha 2 como elemento, eu sei S' = f(S) = S U {2}, então f(f(S)) = f(S') = S' - {2} = S U {2} - {2} = S. Caso S tenha 2 como elemento, o processo é análogo.
Então, fof(S) = S.
I. Injetiva
f(S) = f(S') => f(f(S)) = f(f(S')) => S = S', então não dá pra gerar a mesma imagem com f sem os subconjuntos serem iguais
II. Sobrejetiva
Seja S' do contradomínio (e do domínio consequentemente) de f. Prove-se que existe x em A para f(x) = S'. De fato, se S' no domínio, existe f(S') = S => f(f(S')) = f(S) <=> S' = f(S). Ora, basta que x = S => sempre há domínio para qualquer imagem.

Então, f é bijetora (mas, sinceramente, era mais fácil listar tudo rs).