Análise combinatória (ENEM)

(ENEM 2013) Um artesão de jóias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes.
Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.
A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.


Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?
A) 6
B) 12
C) 18
D) 24
E) 36

Eu não entendi porque um lado é simétrico ao outro, e outro não. O Marcelo Rufino diz que é necessário abrir essa questão em três casos, que eu, particularmente, não entendi porquê. Alguém pode me ajudar a entender essa ideia de simetria nesse tipo de questão?

Essa questão é muito parecida com a EFOMM 2024 (questão 14).

Primeiro caso: das três cores você escolhe apenas duas para compor a jóia, colocando as cores iguais em vértices opostos. Perceba que o resultado dessa combinação terá que ser multiplicado por 2, pois faz diferença colocar no vértice mais bicudo ou no outro. 6 possibilidades.

Segundo caso: você usa as três cores e coloca aquela que vai se repetir no vértice mais bicudo.3 possibilidades pois são três cores.

Terceiro caso: você coloca a cor que vai se repetir no vértice menos bicudo: 3 possibilidades pois são três cores.

Detalhando as soluções


Sejam 1, 2, 3 as cores
A e C podem ter os mesmos números, assim com B e D
A e B e A e D tem que ser diferentes; idem para C e B e C e D

I) Para A = C = 1 ---> são 3 soluções para (B, D): (2, 2), (3, 3) e (2, 3)

II) Para A = C = 2 ---> são 3 soluções para (B, D): (1, 1), (3, 3) e (1, 3)

III) Para A = C = 3 --> são 3 soluções para (B, D): (1, 1), (2, 2) e (1, 2)

IV) Para A = 1 e C = 2 ---> 1 solução para (B, D): (3, 3)

V) Para A = 1 e C = 3 ---> 1 solução para (B, D): (2, 2)

VI) Para A = 2 e C = 3 ---> 1 solução para (B, D): (1, 1)


Total = 12 soluções

Interessante, mestre Elcioschin! Essa forma de resolver parece mais fácil do que as que eu encontrei.