EN - Limites

Para limites do tipo 0/0 ou ∞/∞ podemos utilizar L'Hôpital, motivo pelo qual eu faço a manipulação algébrica abaixo.

Antes de partirmos para a resolução, penso que a questão queira o limite quando x tende a zero pela direita, pois o limite que consta no enunciado não existe para x tendendo a zero, uma vez que o limite da função solicitada quando x tende a zero pela esquerda é zero. Sendo os limites laterais diferentes, o limite não existe, portanto.

\[\mathrm{\lim_{x\to 0^+}\left ( xe^{\frac{1}{x}} \right )=\lim_{x\to 0^+}\left ( \frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}} \right )=\frac{\infty}{\infty}}\]
\[\mathrm{Por\ L'H\hat{o}pital:\ \lim_{x\to  0^+}\left ( xe^{\frac{1}{x}} \right )=\lim_{x\to  0^+}\left [\frac{\frac{d}{dx}\left ( e^{1/x} \right )}{\frac{d}{dx}\left ( 1/x \right )}  \right ]=\lim_{x\to  0^+}e^{\frac{1}{x}}=\infty}\]