Limites

tkg767 escreveu:Acho que quer dizer 1 * 1/x

É que esta representação, ao meu ver, não faz muito sentido, bastando representar por (1/x). Creio que o enunciado quis representar o limite abaixo:

[latex]\lim_{x \to +\infty}\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x[/latex]

Quanto a resolução, é sabido que:

[latex]\\\lim_{x \to +\infty}\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x=e[/latex]

A partir do limite acima, podemos realizar algumas manipulações:

[latex]\\\mathrm{\lim_{x \to +\infty}\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=e^{ln\left [ \lim_{x \to +\infty}\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x \right ]}}\\\\\mathrm{\lim_{x \to +\infty}\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=e^{\lim_{x\to +\infty}\left [ ln\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x \right ]}}\\\\\mathrm{\lim_{x \to +\infty}\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=e^{\lim_{x\to +\infty}\left [ xln\left ( 1-\frac{1}{x} \right ) \right ]}}[/latex]

[latex]\\\mathrm{\lim_{x\to +\infty}\left [ xln\left ( 1-\frac{1}{x} \right ) \right ]=\lim_{x\to +\infty}\left [ \frac{ln\left ( 1-\frac{1}{x} \right )}{\frac{1}{x}} \right ]=\frac{0}{0}}\\\\\mathrm{Por\ L'\ H\hat{o}pital:\ \lim_{x\to +\infty}\left [ xln\left ( 1-\frac{1}{x} \right ) \right ]=\lim_{x\to +\infty}\left (- \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} \right )=-1}\\\\\mathrm{\therefore \ \lim_{x \to +\infty}\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=e^{\lim_{x\to +\infty}\left [ xln\left ( 1-\frac{1}{x} \right ) \right ]}=e^{-1}=\frac{1}{e}}[/latex]