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Limites

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Resolvido Limites

Mensagem por tkg767 Qui 02 Dez 2021, 12:47

Limites Screen15


Última edição por tkg767 em Qui 02 Dez 2021, 16:07, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Limites

Mensagem por Elcioschin Qui 02 Dez 2021, 13:44

Estou supondo tratar-se de número misto:

1 ........... 1
1--- = 1 + ---- ---> Limite = 1 + 1/∞ = 1 + 0 = 1 
.. x ........... x

Tens o gabarito?
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Resolvido Re: Limites

Mensagem por tkg767 Qui 02 Dez 2021, 14:03

No gabarito está 1/e
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Resolvido Re: Limites

Mensagem por Elcioschin Qui 02 Dez 2021, 14:54

Então o enunciado está digitado errado.
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Resolvido Re: Limites

Mensagem por tkg767 Qui 02 Dez 2021, 14:55

Acho que quer dizer 1 * 1/x
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Resolvido Re: Limites

Mensagem por Giovana Martins Qui 02 Dez 2021, 15:38

@tkg767 escreveu:Acho que quer dizer 1 * 1/x

É que esta representação, ao meu ver, não faz muito sentido, bastando representar por (1/x). Creio que o enunciado quis representar o limite abaixo:

[latex]\lim_{x \to +\infty}\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x[/latex]

Quanto a resolução, é sabido que:

[latex]\\\lim_{x \to +\infty}\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x=e[/latex]

A partir do limite acima, podemos realizar algumas manipulações:

[latex]\\\mathrm{\lim_{x \to +\infty}\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=e^{ln\left [ \lim_{x \to +\infty}\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x \right ]}}\\\\\mathrm{\lim_{x \to +\infty}\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=e^{\lim_{x\to +\infty}\left [ ln\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x \right ]}}\\\\\mathrm{\lim_{x \to +\infty}\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=e^{\lim_{x\to +\infty}\left [ xln\left ( 1-\frac{1}{x} \right ) \right ]}}[/latex]

[latex]\\\mathrm{\lim_{x\to +\infty}\left [ xln\left ( 1-\frac{1}{x} \right ) \right ]=\lim_{x\to +\infty}\left [ \frac{ln\left ( 1-\frac{1}{x} \right )}{\frac{1}{x}} \right ]=\frac{0}{0}}\\\\\mathrm{Por\ L'\ H\hat{o}pital:\ \lim_{x\to +\infty}\left [ xln\left ( 1-\frac{1}{x} \right ) \right ]=\lim_{x\to +\infty}\left (- \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} \right )=-1}\\\\\mathrm{\therefore \ \lim_{x \to +\infty}\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=e^{\lim_{x\to +\infty}\left [ xln\left ( 1-\frac{1}{x} \right ) \right ]}=e^{-1}=\frac{1}{e}}[/latex]

Peço, por gentileza, que revise os cálculos. Fiz a questão inteiramente por aqui, sem desenvolver os cálculos em alguma folha de rascunho.
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