[PUC-PR Inverno 2023] Função exponencial

por ultima_racio1 Seg 20 maio 2024, 11:23

[PUC-PR 2023] Considere a função real f tal que [latex]f(x) = 5.2^x - 3.x - 7[/latex] para todo x real. Se n indica o número de raízes reais distintas da equação f(x) = 0, então, exatamente quantos são os divisores de n?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6

Gabarito aparentemente parece ser D (é o que consta no pdf). Entretanto, já vi na internet o gabarito como B.

Obrigado desde já!

Edit: esqueci das respostas [PUC-PR Inverno 2023] Função exponencial 1f602

[PUC-PR Inverno 2023] Função exponencial 1f602

por Lipo_f Seg 20 maio 2024, 11:35

Se f(x) = 0 => 5 . 2^x = 3x + 7. Sei que 5 . 2^x é crescente e cresce muito mais velozmente que 3x + 7. Também, fazendo x = 0, temos: 5 . 2^0 = 5 e 3.0 + 7 = 7, então em x = 0 a função 5 . 2^x está abaixo de 3x+7, significando que existe uma raiz à direita de 0. Também deve haver uma à esquerda, afinal 5 . 2^x nunca se tornará negativa, mas 3x+7 é negativa para x < -7/3. Assim, há somente duas raízes e são dois os divisores de n.

por ultima_racio1 Seg 20 maio 2024, 11:50

Lipo_f escreveu:Se f(x) = 0 => 5 . 2^x = 3x + 7. Sei que 5 . 2^x é crescente e cresce muito mais velozmente que 3x + 7. Também, fazendo x = 0, temos: 5 . 2^0 = 5 e 3.0 + 7 = 7, então em x = 0 a função 5 . 2^x está abaixo de 3x+7, significando que existe uma raiz à direita de 0. Também deve haver uma à esquerda, afinal 5 . 2^x nunca se tornará negativa, mas 3x+7 é negativa para x < -7/3. Assim, há somente duas raízes e são dois os divisores de n.

[PUC-PR Inverno 2023] Função exponencial 503132

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Mas uma coisa que fiquei pensativo: não há como identificar quais seriam as raízes?

por Lipo_f Seg 20 maio 2024, 12:03

ultima_racio1 escreveu:.

Mas uma coisa que fiquei pensativo: não há como identificar quais seriam as raízes?

Olha, dar até dá pra identificar uma: x = 1. A negativa (acho pelo menos) só com aproximação.

por ultima_racio1 Seg 20 maio 2024, 14:23

Lipo_f escreveu:
ultima_racio1 escreveu:.

Mas uma coisa que fiquei pensativo: não há como identificar quais seriam as raízes?
Olha, dar até dá pra identificar uma: x = 1. A negativa (acho pelo menos) só com aproximação.

Imaginei isso mesmo. Valeu!