Duvida Função-polinomio Vestibular UFTM 2011 inverno

Sabe-se que α, β e γ são as raízes da equação x³ - 9x² + 23x - k = 0, em que k é uma constante real. Sendo α+γ/2 = β , conclui-se que o valor de k na equação é igual a.

Resposta é 15.
Tenho dificuldade em função, e nesse não sei nem como começar.Sei obviamente que a função cubica tem as 3 raizes α,γ,β mas não sei como usa-las para achar a constante k.

Sabe-se que α, β e γ são as raízes da equação x³ - 9x² + 23x - k = 0, em que k é uma constante real. Sendo α+γ/2 = β , conclui-se que o valor de k na equação é igual a.

Renomeando as raízes:
x1 = α
x2 = β
x3 = γ

Pelas Relações de Girard, temos:
x1 + x2 + x3 = -b/a
x1 + x2 + x3 = -(-9)/1
x1 + x2 + x3 = 9 (I)

Do exercício, temos que:
x1 + x2 = 2x3 (II)

Resolvendo o sistema entre (I) e (II), com o intuito de achar x2, teremos:
x2 = 3

Tendo uma das raízes, podemos utilizar o dispositivo de Briot Ruffini. Assim:

3 | 1 |-9 | 23 | -k
| 1 | -6 | 5 | 15 - k

Como 3 é raiz, temos que (15 - k) = 0
k = 15