Matemática financeira

Uma loja vende automóves em N parcelas iguais, sem juros. No momento de contratar o financiamento, caso o cliente queira aumentar o prazo, acrescentando mais cinco parcelas, o valor de cada uma das parcelas diminui 200 reais, ou se ele quiser diminuir o prazo, com quatro parcelas a menos, o valor de cada uma das parcelas sobe 232. Considere ainda que, nas três possibilidades de pagamento, o valor do automóvel é o mesmo, todas são sem juros e não é dado desconto em nenhuma das situações. Nessas condições, qual a quantidade N de parcelas a serem pagas de acordo com a proposta inicial da loja?


a) 20

b) 24

c) 29

d) 40

e) 58

Gabarito: 24

Vamos chamar o número de parcelas de N, o valor de cada parcela de p, e o valor total do veículo de x. Dessa forma, obviamente, a quantidade de parcelas vezes o valor da parcela resulta no valor do carro, ou seja, N.p=x.
Note que, caso for escolhida a opção em que acrescentam-se 5 parcela, o valor de cada parcela diminui 200 reais, e essa condição resulta no mesmo valor final x a ser pago. Ou seja,
[latex](N+5)(p-200)=x[/latex]       (equação 1)
Caso a segunda opção seja escolhida, diminui-se 4 parcelas, e aumenta-se 232 reais no valor de cada parcela, totalizando assim o mesmo valor x:
[latex](N-4)(p+232)=x[/latex]       (equação 2)
Lembre-se então que a quantidade total de parcelas N vezes o valor da parcela p resulta x. Logo x=Np. Substituindo esse valor na equação 1 e realizando a distributiva, temos:
[latex]Np-200N+5p-1000=Np[/latex]
[latex]5p-200N=1000[/latex]
[latex]5p=1000+200N[/latex]
[latex]p=200+40N[/latex]
Vamos guardar essa informação, pois iremos precisar substituir ela na outra equação para obtermos o valor de N.
Da equação 2, fazendo a distributiva e nubstituindo x=Np, obtemos:
[latex]Np+232N-4p-928=Np[/latex]
[latex]232N-4p=928[/latex]
Agora substituimos o valor obtido anteriormente (p=200+40N) nessa expressão, e chegaremos em alguns passos no resultado final:
[latex]232N-4(200+40N)=928[/latex]
[latex]232N-800-160N=928[/latex]
[latex]72N=1728[/latex]
[latex]N=\frac{1728}{72}[/latex]
[latex]N=24[/latex]