Considere o triângulo de vértices

por nascelisa Dom 25 Fev 2024, 09:55

Considere o triângulo de vértices A (3,0), B (0,b)e C (0,0), de forma que a reta r passando por A e B seja dada por x/p + y/q =1 (com p > 0 e q > 0). Se a distância entre o ponto C e a reta r é 1 u.c, determine q/p√2.

por **Leonardo Mariano** Dom 25 Fev 2024, 10:01

Bom dia nascelisa, pelas regras do fórum é necessário digitar o enunciado da questão em modo texto, e também, caso saiba, colocar o gabarito. Se puder editar o post para que se adeque as regras, que então alguém poderá lhe ajudar.

por nascelisa Dom 25 Fev 2024, 12:17

Leonardo Mariano escreveu:Bom dia nascelisa, pelas regras do fórum é necessário digitar o enunciado da questão em modo texto, e também, caso saiba, colocar o gabarito. Se puder editar o post para que se adeque as regras, que então alguém poderá lhe ajudar.

Obrigada pela orientação. Já arrumei o enunciado, mas não tenho o gabarito.

por **Giovana Martins** Dom 25 Fev 2024, 13:04

A questão está com o enunciado completo? Faço esta pergunta, pois para encontrar o que o enunciado solicita, se eu não tiver errado nada, eu não precisei encontrar a ordenada "b".

Veja se dá para entender. Se surgir dúvidas, avise.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ d_{C,r}=\frac{\left | 0\cdot \frac{1}{p}+0\cdot \frac{1}{q}-1 \right |}{\sqrt{\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}}}=1\to \frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}=1\ (i)}\\\\ \mathrm{Como\ A(3,0)\in r\ \therefore\ \frac{3}{p}+\frac{0}{q}=1\ \therefore\ p=3\ (ii)\ \therefore\ q=\frac{3}{2\sqrt{2}}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Assim:\frac{q}{p\sqrt{2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}\cdot 3\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{4}}\\\\ \mathrm{A\ ordenada\ b\ ocorre\ quando:\frac{0}{p}+\frac{y}{q}=1\ \therefore\ y=b=\frac{3}{2\sqrt{2}}}[/latex]

Uma ilustração para facilitar o entendimento:

por **Leonardo Mariano** Dom 25 Fev 2024, 13:09

Postei porque já tinha digitado, mas fiz de outro jeito:
A reta r passa pelos pontos A e B, então encontrando a sua equação:
[latex] r: \begin{vmatrix}3 & 0 & 1\\ 0 & b & 1\\ x & y & 1\end{vmatrix}=0\therefore 3y+bx-3b=0 [/latex]
Foi dito que a distância de C até essa reta vale 1, logo:
[latex] 1 = \frac{|3.0 + b.0 -3b|}{\sqrt{3^2 + b^2}}\rightarrow \sqrt{9 + b^2} = |-3b| \rightarrow 9 + b^2=9b^2 \\
8b^2 = 9 \therefore b = \pm \frac{3\sqrt{2}}{4} [/latex]
Vamos tentar transformar a reta r para a forma segmentária, como o enunciado trouxe:
[latex] 3y+bx-3b=0 \rightarrow 3y +bx = 3b \overset{\div 3b}{\rightarrow}\frac{y}{b}+\frac{x}{3}=1 [/latex]
Vemos então que p = 3 e q = b.
Como q > 0, só é válido o valor positivo de b, logo, encontrando o que foi pedido:
[latex] \frac{q}{p\sqrt{2}}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{4} }{3\sqrt{2}}=\frac{1}{4} [/latex]
Creio que seja isso.

por nascelisa Qui 29 Fev 2024, 17:19

Leonardo Mariano escreveu:Postei porque já tinha digitado, mas fiz de outro jeito:
A reta r passa pelos pontos A e B, então encontrando a sua equação:
[latex] r: \begin{vmatrix}3 & 0 & 1\\ 0 & b & 1\\ x & y & 1\end{vmatrix}=0\therefore 3y+bx-3b=0 [/latex]
Foi dito que a distância de C até essa reta vale 1, logo:
[latex] 1 = \frac{|3.0 + b.0 -3b|}{\sqrt{3^2 + b^2}}\rightarrow \sqrt{9 + b^2} = |-3b| \rightarrow 9 + b^2=9b^2 \\
8b^2 = 9 \therefore b = \pm \frac{3\sqrt{2}}{4} [/latex]
Vamos tentar transformar a reta r para a forma segmentária, como o enunciado trouxe:
[latex] 3y+bx-3b=0 \rightarrow 3y +bx = 3b \overset{\div 3b}{\rightarrow}\frac{y}{b}+\frac{x}{3}=1 [/latex]
Vemos então que p = 3 e q = b.
Como q > 0, só é válido o valor positivo de b, logo, encontrando o que foi pedido:
[latex] \frac{q}{p\sqrt{2}}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{4} }{3\sqrt{2}}=\frac{1}{4} [/latex]
Creio que seja isso.

Obrigada pela ajuda!

por nascelisa Qui 29 Fev 2024, 17:45

Giovana Martins escreveu:
A questão está com o enunciado completo? Faço esta pergunta, pois para encontrar o que o enunciado solicita, se eu não tiver errado nada, eu não precisei encontrar a ordenada "b".

Veja se dá para entender. Se surgir dúvidas, avise.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ d_{C,r}=\frac{\left | 0\cdot \frac{1}{p}+0\cdot \frac{1}{q}-1 \right |}{\sqrt{\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}}}=1\to \frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}=1\ (i)}\\\\ \mathrm{Como\ A(3,0)\in r\ \therefore\ \frac{3}{p}+\frac{0}{q}=1\ \therefore\ p=3\ (ii)\ \therefore\ q=\frac{3}{2\sqrt{2}}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Assim:\frac{q}{p\sqrt{2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}\cdot 3\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{4}}\\\\ \mathrm{A\ ordenada\ b\ ocorre\ quando:\frac{0}{p}+\frac{y}{q}=1\ \therefore\ y=b=\frac{3}{2\sqrt{2}}}[/latex]

Uma ilustração para facilitar o entendimento:

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