Questão Geometria Plana - Triangulo
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OlavoAlmeidaX- Iniciante
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Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Questão Geometria Plana - Triangulo
Aproveitando o desenho do mestre Elcio, penso que seja isso:
Veja que PBCM é cíclico, cuja prova pode ser feita utilizando semelhança. Deixo essa etapa com você. Agora, como \(P\hat{A}M + A\hat{P}M = P\hat{M}C\), e, uma vez que o quadrilátero é cíclico, então:
\[P\hat{M}C+P\hat{B}C=180°\]
\[P\hat{A}M+A\hat{P}M+90°-P\hat{C}B=180°\]
\[P\hat{A}M+A\hat{P}M+90-P\hat{A}M=180°\]
\[\fbox{$A\hat{P}M=90°$}\]
Logo, a resposta é:
\[A\hat{P}B+M\hat{P}C+A\hat{P}M+C\hat{P}B=360°\]
\[A\hat{P}B+M\hat{P}C+90°+90°=360°\]
\[\therefore\fbox{$A\hat{P}B+M\hat{P}C=180°$}\]
Obs: Caso não consiga provar que PBCM é cíclico, eu escrevo mais à noite. É só dizer.
Veja que PBCM é cíclico, cuja prova pode ser feita utilizando semelhança. Deixo essa etapa com você. Agora, como \(P\hat{A}M + A\hat{P}M = P\hat{M}C\), e, uma vez que o quadrilátero é cíclico, então:
\[P\hat{M}C+P\hat{B}C=180°\]
\[P\hat{A}M+A\hat{P}M+90°-P\hat{C}B=180°\]
\[P\hat{A}M+A\hat{P}M+90-P\hat{A}M=180°\]
\[\fbox{$A\hat{P}M=90°$}\]
Logo, a resposta é:
\[A\hat{P}B+M\hat{P}C+A\hat{P}M+C\hat{P}B=360°\]
\[A\hat{P}B+M\hat{P}C+90°+90°=360°\]
\[\therefore\fbox{$A\hat{P}B+M\hat{P}C=180°$}\]
Obs: Caso não consiga provar que PBCM é cíclico, eu escrevo mais à noite. É só dizer.
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Cha-la head-cha-la
Vitor Ahcor- Monitor
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Medeiros gosta desta mensagem
Re: Questão Geometria Plana - Triangulo
Perfeito, Vitor.
Mas não estou vendo como provar o "quadrilátero cíclico", você poderia demonstrar para mim?
Mas não estou vendo como provar o "quadrilátero cíclico", você poderia demonstrar para mim?
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10409
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Vitor Ahcor gosta desta mensagem
Re: Questão Geometria Plana - Triangulo
Com certeza Medeiros, veja se fica claro:
Uma vez que \(M\widehat{B}C=90°-\alpha-\theta\) e \(C\widehat{B}P=90°-\alpha\Rightarrow M\widehat{B}P=\theta\). Agora, nos triângulos \(\Delta BPQ \) e \(\Delta CMQ \):
\[sin\theta=\frac{\overline{QM}}{\overline{QC}}=\frac{\overline{PQ}}{\overline{QB}}\]
Logo, pelo caso LAL ∆PQM~∆BQC, assim \(P\widehat{M}B=Q\widehat{C}B=\alpha \). Por fim:
\[P\widehat{M}C+P\widehat{B}C=90+\alpha+90-\alpha\]
\[\fbox{$P\widehat{M}C+P\widehat{B}C=180°$}\;\;\;_\blacksquare\]
De forma mais genérica, uma condição necessária e suficiente para que um quadrilátero convexo seja cíclico é que os ângulos formados entre um lado e uma diagonal sejam iguais aos ângulos formados entre o lado oposto e a outra diagonal.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quadril%C3%A1tero_c%C3%ADclico
Uma vez que \(M\widehat{B}C=90°-\alpha-\theta\) e \(C\widehat{B}P=90°-\alpha\Rightarrow M\widehat{B}P=\theta\). Agora, nos triângulos \(\Delta BPQ \) e \(\Delta CMQ \):
\[sin\theta=\frac{\overline{QM}}{\overline{QC}}=\frac{\overline{PQ}}{\overline{QB}}\]
Logo, pelo caso LAL ∆PQM~∆BQC, assim \(P\widehat{M}B=Q\widehat{C}B=\alpha \). Por fim:
\[P\widehat{M}C+P\widehat{B}C=90+\alpha+90-\alpha\]
\[\fbox{$P\widehat{M}C+P\widehat{B}C=180°$}\;\;\;_\blacksquare\]
De forma mais genérica, uma condição necessária e suficiente para que um quadrilátero convexo seja cíclico é que os ângulos formados entre um lado e uma diagonal sejam iguais aos ângulos formados entre o lado oposto e a outra diagonal.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quadril%C3%A1tero_c%C3%ADclico
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Cha-la head-cha-la
Vitor Ahcor- Monitor
- Mensagens : 759
Data de inscrição : 21/12/2018
Idade : 23
Localização : São José dos Campos
Re: Questão Geometria Plana - Triangulo
Grato pela atenção, Vitor.
Agora estou na correria, vou estudar isto no fim de semana (numa tela maior que o celular).
Abç.
Agora estou na correria, vou estudar isto no fim de semana (numa tela maior que o celular).
Abç.
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10409
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 72
Localização : Santos, SP, BR
Vitor Ahcor gosta desta mensagem
Re: Questão Geometria Plana - Triangulo
Como vocês conseguiram visualizar e montar esse problema. Eu postei aqui pois não sabia montar, quando falo não saber eu queria ter uma noção do zero.
OlavoAlmeidaX- Iniciante
- Mensagens : 5
Data de inscrição : 20/02/2023
Re: Questão Geometria Plana - Triangulo
A montagem é uma interpretação exata do enunciado
1) Triângulo ABC é isósceles ---> AB = CB = a e BÂC = B^CA
2) PÂB = P^CA = θ
3) AM = MC ---> M é ponto médio de AC
4) B^PC = 90º
O resto é consequência de propriedades básicas de triângulos. Por exemplo:
a) Num triângulo retângulo se um ângulo agudo é α, o outro agudo é 90º - α
b) Num triângulo qualquer a soma dos seus ângulos internos vale 180º
1) Triângulo ABC é isósceles ---> AB = CB = a e BÂC = B^CA
2) PÂB = P^CA = θ
3) AM = MC ---> M é ponto médio de AC
4) B^PC = 90º
O resto é consequência de propriedades básicas de triângulos. Por exemplo:
a) Num triângulo retângulo se um ângulo agudo é α, o outro agudo é 90º - α
b) Num triângulo qualquer a soma dos seus ângulos internos vale 180º
Elcioschin- Grande Mestre
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