Provar produto de distâncias à diagonal de quadrilátero

1. Seja ABCD um quadrilátero inscritível e sejam x e y as distâncias de B e D à diagonal AC. Sejam n e p as distâncias de A e C à diagonal BD. Prove que xy = np.

Inicialmente, veja que:

\[ [ABD]=\frac{\overline{AE}*\overline{BD}}{2}=\frac{\overline{AB}*\overline{BD}*\overline{AD}}{4R} \]
\[\overline{AE}=n=\frac{\overline{AB}*\overline{AD}}{2R}\]

Da mesma forma tiramos:

\[ [BCD]=\frac{\overline{CF}*\overline{BD}}{2}=\frac{\overline{BC}*\overline{CD}*\overline{BD}}{4R} \]
\[\overline{CF}=p=\frac{\overline{BC}*\overline{CD}}{2R}\]

Disso tiramos o produto:

\[p*n=\frac{\overline{AB}*\overline{BC}*\overline{CD}*\overline{AD}}{4R^2}\]

Ora, com raciocínio análogo, poderíamos fazer o mesmo processo em relação a diagonal \(\overline{AC}\). Ou seja:

\[x*y=\frac{\overline{AB}*\overline{BC}*\overline{CD}*\overline{AD}}{4R^2}\]

\[\therefore \fbox{$x*y=p*n  $} \;\;\;\;\ \square \]