Quadrilátero inscritível em círculo

por Zeis Sex Fev 16 2024, 14:05

1. Desenhe um círculo O, de raio R, e dois diâmetros perpendiculares AB e CD em um ponto M, entre O e D. Uma corda vinda de A intercepta o círculo em um segundo ponto, N, e o diâmetro CD em um ponto M, entre O e D. Mostre que o quadrilátero OMNB pode ser inscrito em um círculo com centro I. Especifique a posição de I. Se o ponto N descreve o quarto de círculo DB, mostre que I permanece equidistante de dois pontos fixos e determine sua localização.

por **Vitor Ahcor** Sáb Fev 17 2024, 17:11

Primeiro, observe que o triângulo ∆ANB é retângulo em N, uma vez que AB é um diâmetro.
Além disso, o ângulo ∠BOD é de 90°. Portanto, a soma dos ângulos ∠BOM e ∠BNM é igual a 180°. Isso prova que o quadrilátero OMNB é cíclico.
O centro do círculo circunscrito ao quadrilátero está no ponto médio do diâmetro BM, ou seja, I = O’ = (B+M)/2.
Finalmente, à medida que o ponto N percorre o quarto de círculo DB, o ponto I permanece equidistante dos vértices O e B. Essa distância é precisamente o raio do círculo circunscrito ao quadrilátero OMNB, e sua posição altera-se para o novo ponto médio da hipotenusa do triângulo BOM, I se desloca sobre a mediatriz do segmento BO.

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