Expansão de potencia polinomial e contagem de monômios

Pelo Teorema multinomial:

[latex](a+b+c+d+e)^7=\sum_{A,B,C,D,E}^{} \frac{7!}{A!B!C!D!E!}a^Ab^Bc^Cd^De^E[/latex]

Queremos que A+B+C+D+E=7, sendo A,B,C,D,E ≤ 3

O total de solução inteiras não negativas de A+B+C+D+E=7 é C(11,7)

Devemos tirar os casos em que os expoentes ultrapassam 3 e, para isso, seja a nova equação:

(A'+4)+B+C+D+E=7 →  A'+B+C+D+E=3, totalizando 5*C(7,3) soluções

Então, o valor pedido é C(11,7)-5*C(7,3)=155.

Correto: 155

poderia detalhar mais essa parte da resposta

O total de solução inteiras não negativas de A+B+C+D+E=7 é C(11,7)

Claro, vamos lá!

Considere a seguinte solução específica: A=2, B=2, C=1, D=1, E=1.

Vamos associar cada unidade a um ponto, então:

A = ..
B = ..
C = .
D = .
E = .

Assim, temos a seguinte soma:

\[ .. + .. + . + . + . = 7 \]

No entanto, independentemente da solução, teremos SEMPRE 7 pontos e 4 sinais de "+". Por exemplo, a solução A=3, B=4, C=0, D=0, E=0 resulta em:

\[ ... + .... + + + = 7 \]

Dessa maneira, o número de soluções para a equação \(A + B + C + D + E = 7\) é numericamente igual ao número de anagramas de uma "palavra" formada por 7 pontos e 4 sinais de "+", conforme ilustrado:

\[ ++++....... \]

Portanto, o número de anagramas diferentes é dado por \( \frac{11!}{4! \cdot 7!} = C(11,7) \).

Muito bom. valeu pela explicação ! ótima solução