Expansão polinomial

por TristezaFria Seg 06 Jul 2020, 19:51

Olá, é possível expandir um polinômio do tipo abaixo com auxílio do teorema de Leibniz ou de outra ferramenta? Se sim, como?

Código:: [latex](a_1 + a_2 ...+ a_n)^k[/latex]

por Lucius Draco Seg 06 Jul 2020, 20:25

(a_1, a_2 ..., a_n)^k ???

Era para ser isso:(a_1 + a_2 +...+ a_n)^k ?

por TristezaFria Seg 06 Jul 2020, 20:53

Exatamente, errei ao digitar a expressão

por Lucius Draco Seg 06 Jul 2020, 22:26

Bom vai ser um pouco complicado de explicar (já que vou usar combinatória), mas estamos aí. Pergunte até você entender.

imagine que cada termo é uma caixa.

caixa 1: a₁
caixa 2: a₂
caixa 3: a₃
caixa 4: a₄
...

Imagine agora que eu boto:

k₁ bolas em a₁
k₂bolas em a₂
k₃ bolas em a₃
k₄ bolas em a₄
...

Oberve que k_n é o valor da potência de a_n.
Sendo: k₁ + k₂ + k₃ + ... + k_n = k

Além disso, o número de modos, no qual eu escolho a ordem de colocar as bolas é:

k!/(k₁!*k₂!*k₃!*...*k_(n-1)!*k_n!)

Logo, temos que:

(a₁ + a₂ + ... + a_n)^k = ∑[k!/(k₁!*k₂!*k₃!*...*k_(n-1)!*k_n!)]*[(a₁)^(k₁)]*[(a₂)^(k₂)]*...*[(a_n)^(k_n)], para toda relação k₁ + k₂ + k₃ + ... + k_n = k.

por TristezaFria Qua 08 Jul 2020, 17:27

Obrigado pelo apoio, Lucius. No caso, como seria um somatório se todos os elementos estão representados em cada soma? Qual é a diferença entre cada repetição da soma? Entendo que pode ser complicado de explicar, então pode demonstrar a aplicação com um polinômio simples de grau 2 e com 3 termos?

por Lucius Draco Qua 08 Jul 2020, 22:44

Claro!

Vou ter que usar o LaTeX para que as contas fiquem mais "entendiveis". (Se o LaTeX não funcionar no seu PC, me avise que "printarei" e mandarei como foto)

Caso com dois termos elevado a 1

[latex](x+y)^1 = 1!\cdot \frac{x^1}{1!}\cdot \frac{y^0}{0!} + 1!\cdot \frac{x^0}{0!}\cdot \frac{y^1}{1!}[/latex]

Caso com dois termos elevado a 2

[latex](x + y)^{2} = 2!\cdot \frac{x^2}{2!}\cdot \frac{y^0}{0!} +2!\cdot \frac{x^1}{1!}\cdot \frac{y^1}{1!} + 2!\cdot \frac{x^0}{0!}\cdot \frac{y^2}{2!}[/latex]

Caso com três termos elevado a 2

[latex](x + y + z)^{2} = 2!\cdot \frac{x^2}{2!}\cdot \frac{y^0}{0!}\cdot \frac{z^0}{0!}+ 2!\cdot \frac{x^0}{0!}\cdot \frac{y^2}{2!}\cdot \frac{z^0}{0!} + 2!\cdot \frac{x^0}{0!}\cdot \frac{y^0}{0!}\cdot \frac{z^2}{2!} + \\ \\2!\cdot \frac{x^1}{1!}\cdot \frac{y^1}{1!}\cdot \frac{z^0}{0!} +2!\cdot \frac{x^0}{0!}\cdot \frac{y^1}{1!}\cdot \frac{z^1}{1!} + 2!\cdot \frac{x^1}{1!}\cdot \frac{y^0}{0!}\cdot \frac{z^1}{1!} [/latex]

Note que a expansão é a soma de todos os possíveis casos em que a soma das potências é k(valor da potência do polinômio).
Caso geral:

[latex](a_{1} + ... + a_{n})^k = \sum_{}{k!\cdot \frac{a_{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}\cdot ...\cdot \frac{a_{n}^{k_{n}}}{k_{n}!}};sendo \; k_{1} + ... +k_{n} = k[/latex]