Função composta; Tipologia de funções

Sejam as funções f: IR → IR e g: IR → IR. Sabendo que f é bijetora e g é sobrejetora, considere as sentenças a seguir:
I) g o f é injetora;
II) f o g é bijetora;
III) g o f é sobrejetora.

Assinalando com verdadeiro (V) ou falso (F) a cada sentença, obtém-se:
a) V-V-V
b) V-V-F
c) F-V-F
d) F-F-V
e) V-F-V


Pessoal, bom dia. Essa questão traz como gabarito a letra D. Possuo uma dúvida se a dica que tive contato progride (resolução pela interseção das tipologias de funções) ou se o resultado correto encontrado pela análise que segue essa dica foi mera sorte. A resolução mais tradicional dessa questão vai buscar o raciocínio:

I) g[f(x) é injetora
se x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)  - f(x) segue isso por ser injetora e sobrejetora
y1 sendo f(x1) e y2 sendo f(x2)
g(y1) = z1
g(y2) = z2
z1 ≠ z2 não é garantido, uma vez que ser sobrejetora só versa que Im = CD e não garante que para cada x distinto se retorne um y distinto (para atender g[f(x)] ser injetora).
De modo semelhante se dá a análise das duas outras afirmativas.

Mas, aparentemente, uma outra linha de raciocínio muito mais prática se mostra igualmente assertiva. Por favor, me tirem essa dúvida se esse suposto método de análise se mostra válido e se nas questões desse tipo ele poderia, sem dúvidas, sempre ser usado (tal linha de raciocínio aparenta não ser ideal caso a questão fosse aberta, mas como no concurso que almejo são fechadas, isso não é problema). Segue a análise abaixo:

f: bijetora
g: sobrejetora
I) g o f ∴ sobrejetora Ո bijetora = sobrejetora
II) f o g ∴ bijetora Ո sobrejetora = sobrejetora
III) g o f ∴ sobrejetora Ո bijetora = sobrejetora

Quando se analisam as alternativas ela retorna o gabarito correto, a letra D. Então, de fato, esse meio que usa a interseção entre a tipologia de funções se mostra válido nas questões desse tipo? Agradeço antecipadamente o esclarecimento. Feliz ano novo.

Bom dia hhenriquee, feliz ano novo também   .
Existem 3 teoremas muito úteis sobre a composição de funções, sendo estes:
1) Se f(x) e g(x) são injetoras e o contradomínio de f(x) está contido no domínio de g(x), então g o f é injetora;
2) Se f(x) e g(x) são sobrejetoras e o contradomínio de f(x) é igual ao domínio de g(x), então g o f é sobrejetora;
3) Se f(x) e g(x) são bijetoras e o contradomínio de f(x) é igual ao domínio de g(x), então g o f é bijetora.
Na questão, como as duas funções são de reais em reais, todos os teoremas acima são válidos, logo:
I) g o f: g e f são sobrejetoras (pois f é bijetora), logo g o f é sobrejetora;
II) f o g: ocorre o mesmo caso de cima, f o g é sobrejetora.
Ou seja, na minha visão a sua análise pode ser feita sem nenhum problema, mas você deve se atentar ao domínio e ao contradomínio das funções dadas, pois caso não sejam cumpridos os requisitos dos teoremas citados, ela não será mais válida.