Análise Combinatória

por Gui+lherme Seg 18 Set 2023, 16:01

Prove que: [latex]\sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{(i+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!}[/latex]

por **Giovana Martins** Sáb 14 Out 2023, 23:40

Penso que seja isto.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{i=1}^{n}\left [ \frac{1}{(i+1)!} \right ]=\frac{1}{(1+1)!}+\frac{2}{(2+1)!}+...+\frac{n}{(n+1)!}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Note\ que\ 1-\frac{1}{(i+1)!}=\frac{1}{i!}-\frac{1}{(i+1)!}=\frac{i}{(i+1)!}}\\\\ \mathrm{Ent\tilde{a}o:\sum_{i=1}^{n}\left [ \frac{1}{(i+1)!} \right ]=\left [ \frac{1}{1!}-\frac{1}{(1+1)!} \right ]+\left [ \frac{1}{2!}-\frac{1}{(2+1)!} \right ]+...+\left [ \frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!} \right ]}\\\\ \mathrm{\ \ \ As\ parcelas\ se\ cancelam\ duas\ a\ duas,restando:\sum_{i=1}^{n}\left [ \frac{1}{(i+1)!} \right ]=1-\frac{1}{(n+1)!}}[/latex]

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