Soma e Produtos Telescópicos

1989

∑ 1/√n+√n²-1
n =1


resposta:  √2/2 (√1989+√1990-1)

Para n = 1 ---> ∑₁ = 1/(1 + 1 - 1) = 1

Para n = 2 ---> ∑₂ = 1/(√2 + 2 - 1) = 1/(√2 - 1) = √2 + 1

Para n = 3 ---> ∑₃ = 1/(√3 + 3 - 1) = 1/(√3 + 2) = √3 - 2

Tente completar e descobrir a lei de formação

17Carat_ escreveu:1989

∑ 1/√n+√n²-1
n =1


resposta:  √2/2 (√1989+√1990-1)

O enunciado está muito mal escrito e fica bem mais dificil descobrir qual é o somatório em questão. Tem que colocar os parenteses!!!! Acredito que era pra ser:


\( S = \displaystyle \sum_{n =1}^{1989} \dfrac 1{\sqrt{n + \sqrt{n^2 - 1}}} \)

Para resolver note que

\( (\sqrt{n-1} +\sqrt{n+1})^2 = 2n + 2 \sqrt{n^2-1} \implies \dfrac{\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}}{\sqrt 2} = \sqrt{ n + \sqrt{n^2 - 1}}\)

Isso transforma o somatório em

\( \displaystyle S = \sum_{n=1}^{1989} \dfrac{\sqrt 2}{ \sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}} = \sum_{n=1}^{1989} \dfrac{\sqrt{n+1}  - \sqrt{n-1}}{\sqrt 2} \)

Sendo \( f(n) = \sqrt{n} + \sqrt{n-1}\) segue que

\( \displaystyle S = \sum_{n=1}^{1989} \dfrac{f(n+1) - f(n)}{\sqrt 2} = \dfrac{1}{\sqrt 2} \sum_{n=1}^{1989} f(n+1) - f(n) \implies \)

\( \displaystyle S = \dfrac{1}{\sqrt 2} (f(1990) - f(1)) \implies \boxed{ S = \dfrac{\sqrt  2}2  \left( \sqrt{1990} + \sqrt{1989} -1 \right) }\)