Produtos Telescópicos
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Produtos Telescópicos
Sejam [latex]r_1=3[/latex] e [latex]r_n=r_{n-1}^2-2[/latex], para todo n≥2. Se [latex]s_n=r_n-2[/latex] prove que [latex]S_j[/latex] tem, no mínimo, [latex]2\cdot3^{j-2}[/latex] divisores positivos, j≥2.
Perceval- Recebeu o sabre de luz
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Re: Produtos Telescópicos
notação: [latex](a, b):=\operatorname{mdc}(a, b)[/latex]
[latex]s_n=r_n-2=r_{n-1}^2-4=(r_{n-1}-2)(r_{n-1}+2)=s_{n-1}\cdot r_{n-2}^2[/latex].
A prova agora segue por indução.
Para [latex]n=2[/latex], temos que [latex]s_2=r_1^2-4=5[/latex], que tem [latex]2=2\cdot 3^{2-2}[/latex] divisores.
Suponha válido para [latex]n=k[/latex].
É claro que [latex]r_i[/latex] é ímpar, para todo [latex]i[/latex], e então
[latex](r_{k}-2, r_{k}+2)=(4, r_{k}-2)=1[/latex], de modo que para contar p número divisores positivos de [latex]s_{k+1}[/latex] basta multiplicar o número de divisores de [latex]s_{k}[/latex] e de [latex]r_{k}+2[/latex].
Por último, como para [latex]k\ge 2[/latex] temos que [latex]r_{k-1}^2[/latex] tem ao menos 3 divisores positivos distintos ([latex]1,\ r_{k-1}\text{ e } r_{k-1}^2[/latex]), temos ao menos [latex](2\cdot 3^{k})\cdot 3=2\cdot 3^{k+1}[/latex] divisores positivos.
[latex]s_n=r_n-2=r_{n-1}^2-4=(r_{n-1}-2)(r_{n-1}+2)=s_{n-1}\cdot r_{n-2}^2[/latex].
A prova agora segue por indução.
Para [latex]n=2[/latex], temos que [latex]s_2=r_1^2-4=5[/latex], que tem [latex]2=2\cdot 3^{2-2}[/latex] divisores.
Suponha válido para [latex]n=k[/latex].
É claro que [latex]r_i[/latex] é ímpar, para todo [latex]i[/latex], e então
[latex](r_{k}-2, r_{k}+2)=(4, r_{k}-2)=1[/latex], de modo que para contar p número divisores positivos de [latex]s_{k+1}[/latex] basta multiplicar o número de divisores de [latex]s_{k}[/latex] e de [latex]r_{k}+2[/latex].
Por último, como para [latex]k\ge 2[/latex] temos que [latex]r_{k-1}^2[/latex] tem ao menos 3 divisores positivos distintos ([latex]1,\ r_{k-1}\text{ e } r_{k-1}^2[/latex]), temos ao menos [latex](2\cdot 3^{k})\cdot 3=2\cdot 3^{k+1}[/latex] divisores positivos.
SilverBladeII- Matador
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