Álgebra-Produtos telescópicos

Uma sequência é definida por a(1) = 2 e a(n) = 3*a(n)−1 + 1. Determine a soma
a(1) + a(2) + . . . + a(n).
Dica:
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Gabarito:
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a minha resolução foi um pouco diferente e bem trabalhosa,não fiz as operações ''passo-a-passo'' das somas das PG's para não aumentar mais ainda a resolução, ai vai:
temos:

com isso é fácil notar que:
, somamos tudo depois de [3^(n-1)]a1 e temos uma PA de n-1 termos com q=3 tendo em vista o primeiro termo como 3^0, aplicando a soma dos termos de uma pg temos:
, é fácil notar que isso se repete até a(2):


...

chamarei a soma de a(2) até a(n) de Y:
, note que podemos somar dois agrupamentos semelhantes de cada vez, onde vou chamar de S(1) e S(2):
; para não ficar muito longo vou apenas dizer que isso é uma pg de q=3 com (3^1)a1 o primeiro termo, aplicando a soma dos termos de uma pg temos:
,concluído isso calculemos S(2):
--->, a soma desse primeiro agrupamento também constitui a soma de uma PG de razão 3 onde o primeiro termo é (3^1)/2. formando--->
,agora como Y é a soma de a(2) até a(n), X é a soma de a(1) até a(n) e tambem X=Y+2 pois a(1)=2, portanto:
;
, substituindo a(1) por 2 e resolvendo: