Efeito Doppler na Luz

Considere-se um referencial [latex]S'[/latex] que se desloca a uma velocidade [latex]\vec{v}[/latex] no qual a dado instante é emitido um sinal luminoso. Considere-se ainda um referencial [latex]S[/latex] em repouso no qual o sinal é recebido. Cada observador irá fazer medições diferentes dos mesmos acontecimentos no respetivo referencial.

Em [latex]S'[/latex] a distância entre duas frentes de onda, isto é, o comprimento de onda do sinal, é dado por [latex]\lambda'= c\Delta t'[/latex], com uma frequência no emissor de [latex] f'=\frac{1}{\Delta t'} [/latex]. Por outro lado, em [latex]S[/latex] é preciso levar em conta a velocidade [latex]\vec{v}[/latex] com que se desloca a fonte luminosa. Quando uma nova frente de onda é emitida, a fonte luminosa terá percorrido uma distância [latex]\Delta x=\vec{v}\Delta t[/latex], encurtando o comprimento de onda, pelo que a distância entre as frentes de onda medido em [latex]S[/latex] será [latex]\lambda=c\Delta t-v\Delta t[/latex]. Então, a frequência recebida no referencial [latex]S[/latex] será [latex] f = \frac{c}{\lambda} = \frac{c}{(c-v)\,\Delta t} [/latex].

Desenvolvendo a equação temos: [latex] \displaystyle f = \frac{1}{\frac{(c-v)\,\Delta t}{c}}= \frac{1}{(1-\frac{v}{c})\Delta t} [/latex]

Substituindo o intervalo de tempo pela equação relativista, [latex] \displaystyle \frac{1}{(1-\frac{v}{c}) \gamma \Delta t'} [/latex]

Expandindo o fator de Lorentz e verificando que o quociente do intervalo de tempo é a frequência no referencial emissor [latex]S'[/latex], [latex] \displaystyle \frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{(1-\frac{v}{c})} f' [/latex]

Observando que o interior da raiz é um caso notável de diferença de quadrados, [latex] \displaystyle \frac{\sqrt{(1-\frac{v}{c})(1+\frac{v}{c})}}{(1-\frac{v}{c})} f' [/latex] [latex]= \sqrt{\frac{(1-\frac{v}{c})(1+\frac{v}{c})}{(1-\frac{v}{c})(1-\frac{v}{c})}} f' [/latex] [latex]= \sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}  f' [/latex] [latex]\Longleftrightarrow \boxed{ f = f' \sqrt{\frac{c+v}{c-v}} }[/latex]