Identidade trigonométrica - demonstração

por Valéria Oliveira Qui 25 Ago 2022, 10:41

Na tentativa de demonstrar a seguinte expressão:

sec²x + cot²x = cossec²x + (1 + tan²x) / (1 + cot²x)

... desenvolvi os dois membros e eles não se verificaram, tornando a identidade falsa:

(sin²x + cos⁴x) / (cos²x * sin²x) = (cos²x + sin⁴x) / (cos²x * sin²x) (F)

É falsa mesmo ou eu errei? Refiz algumas vezes e sempre chego à mesma conclusão.

por aitchrpi Qui 25 Ago 2022, 11:01

[latex]\frac{1+tan^2(x)}{1 + cot^2(x)} = \frac{1/cos^2(x)}{1/sin^2(x)} = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}[/latex]

[latex]\frac{1}{cos^2(x)} + \frac{cos^2(x)}{sin^2(x)} = \frac{1}{sin^2(x)} + \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}[/latex]

[latex]\frac{1-sin^2(x)}{cos^2(x)} = \frac{1-cos^2(x)}{sin^2(x)} [/latex]

[latex]\frac{cos^2(x)}{cos^2(x)} = \frac{sin^2(x)}{sin^2(x)} [/latex]

[latex]1 = 1[/latex]

A identidade é verdadeira.

por al171 Qui 25 Ago 2022, 12:47

~~Substitua a variável \(x\) por \(\pi/3\) por exemplo. A identidade em questão não é verificada.~~
\[
\sec^2x = \tan^2x + 1 \quad \text{e} \quad \csc^2x = \cot^2x + 1
\]
\[
\tan^2x+1 + \cot^2x = \cot^2x + 1 + \frac{\sec^2x}{\csc^2x} \Leftrightarrow \tan^2x = \frac{\frac{1}{\cos^2x}}{\frac{1}{\sin^2x}} = \frac{\sin^2x}{\cos^2x}
\]

por Valéria Oliveira Qui 25 Ago 2022, 15:26

Consegui verificar depois de desenvolver mais a expressão que encontrei, lapso meu... Obrigada, @aitchrpi!!
@al171, dá pra verificar com esse valor...

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