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Demonstração de identidade

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Demonstração de identidade

por jrhwk Qui 30 maio 2013, 16:51

Demonstrar $(cotgx-cosx)^2+(1-senx)^2=(1-cossecx)^2$

Edit: já consegui, se alguém quiser que eu poste a resolução pode falar.

jrhwk: Iniciante; Mensagens : 25
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Re: Demonstração de identidade

por danjr5 Sex 07 Jun 2013, 22:27

$\\ \left ( \text{cotg} \, x - \cos x \right )^2 + \left ( 1 - \sin x \right )^2 = \\\\ \left ( \frac{\cos x}{\sin x} - \cos x \right )^2 + 1 - 2 \cdot \sin x + \sin^2 x = \\\\\\ \left ( \frac{\cos x - \sin x \cdot \cos x}{\sin x} \right )^2 + 1 - 2 \cdot \sin x + \sin^2 x = \\\\\\ \frac{\cos^2 x - 2 \cdot \cos x \cdot \sin x \cdot \cos x + \sin^2 x \cdot \cos^2 x}{\sin^2 x} + 1 - 2 \cdot \sin x + \sin^2 x = \\\\\\ \frac{\cos^2 x - 2 \cdot \cos^2 x \cdot \sin x + \sin^2 x \cdot \cos^2 x + \sin^2 x - 2 \cdot \sin^3 x + \sin^4 x}{\sin^2 x} = \\\\\\ \frac{(\cos^2 x + \sin^2 x) + (- 2 \cdot \cos^2 x \cdot \sin x - 2 \cdot \sin^3 x) + (\sin^2 x \cdot \cos^2 x + \sin^4 x)}{\sin^2 x} =$

$\\ \frac{(\cos^2 x + \sin^2 x) + (- 2 \cdot \cos^2 x \cdot \sin x - 2 \cdot \sin^3 x) + (\sin^2 x \cdot \cos^2 x + \sin^4 x)}{\sin^2 x} = \\\\\\ \frac{1 - 2 \cdot \sin x(\underbrace{\cos^2 x + \sin^2 x}_1) + \sin^2 x(\underbrace{\cos^2 x + \sin^2 x}_1)}{\sin^2 x} = \\\\\\ \frac{1 - 2 \cdot \sin x + \sin^2 x}{\sin^2 x} = \\\\\\ \frac{(1 - \sin x)^2}{\sin^2 x} = \\\\\\ \left ( \frac{1 - \sin x}{\sin x} \right )^2 =$

$\\ \left ( \frac{1 - \sin x}{\sin x} \right )^2 = \\\\\\ \left ( \frac{1}{\sin x} - \frac{\sin x}{\sin x} \right )^2 = \\\\\\ \left ( \frac{1}{\sin x} - 1 \right )^2 = \\\\\\ \boxed{\left ( \text{cossec} \, x - 1 \right )^2}$

danjr5: Mestre Jedi; Mensagens : 791
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