Demonstração de uma identidade

por vinimasa72 Qua 22 Nov 2023, 20:24

Alguém pode me ajudar nessa?
[latex]\binom{10}{0} + \binom{10}{1} +\cdots +\binom{10}{9}+\binom{10}{10}=2^{10}[/latex]

Os números em parênteses são Combinações:
[latex]\binom{10}{1} = C_{10,1} \\ \binom{10}{2} = C_{10,2}[/latex]

por **petras** Qua 22 Nov 2023, 22:46

Aqui seria a demonstração do teorema das linhas no triânguolo de Pascal

[latex]\\ \binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\binom{n}{0}+...+\binom{n}{n} = 2^n = \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\\ (a+b)^n = \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a^{n-1}.b^i\\ a=1, b=1 \implies (1+1)^n =\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\cancel{1^{n-1}.1^i} = \binom{n}{0}\cancel{1^n1^0}+\binom{n}{1}\cancel{1^{n-1}.1^1}+...\binom{n}{n}\cancel{1^0.1^n}\\ \therefore \boxed{2^n = \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}}[/latex]