Demonstração de identidade

por nandofab Sáb 21 Fev 2015, 12:06

Demonstrar a identidade $tg^2x + cotg^2x = \frac{ 2(3+cos4x)}{1-cos4x}$

por **Carlos Adir** Sáb 21 Fev 2015, 13:00

$\\ (I) \ \ \ \ \ \ \ {\color{Red} sen \ \alpha} = \sqrt{\dfrac{1-cos \ 2\alpha}{2}} \Rightarrow 1-cos \ 4x=2sen^2 \ 2x \\ (II) \ \ \ \ \ \ 3+cos \ 4x=-(1-cos \ 4x)+4=4-2sen^2 \ 2x \\ (III) \ \ \ \ tan^2 \ x+cot^2 \ x=\left(tan \ x + cot \ x \right )^2-2$
Assim, podemos escrever:
$\\ tan^2 \ x+cot^2 \ x = \dfrac{2(3+cos \ 4x)}{1-cos \ 4x} \\ \Rightarrow \left(tan \ x + cot \ x \right )^2-2=\dfrac{2\left(4-2sen^2 \ 2x \right )}{2 sen^2 \ 2x}$
Podemos então "limpar" um pouco mais:
$\\ \left(\dfrac{sec^2 \ x}{tan \ x} \right )^2=\dfrac{4}{sen^2 \ 2x} \Rightarrow \dfrac{\left(\dfrac{1}{cos \ x} \right )^2}{\left(\dfrac{sen \ x}{cos \ x} \right )}=\dfrac{2}{2 \cdot sen \ x \cdot cos \ x}$
E temos como verdade.
Outra maneira é utilizar a identidade 7 do tópico abaixo:
Demonstrações de identidades trigonométricas
$sen \ 2x = \dfrac{2 \cdot tan \ x}{1+tan^2 \ x}$

Partindo daqui:
$\left(tan \ x + cot \ x \right )^2 = \dfrac{4}{sen^2 \ 2x}$
Podemos substituir então:
$\\ \left(\dfrac{1+tan^2 \ x}{tan \ x} \right )^2 = \dfrac{4}{\left(\dfrac{2 \cdot tan \ x}{1+tan^2 \ x} \right )^2} \\ \dfrac{\left(1+tan^2 \ x \right )^2}{tan^2 \ x}=\dfrac{4 \left(1+tan^2 \ x \right )^2}{2^2 \cdot tan^2 \ x}$
E temos então que é valido.

por **Elcioschin** Sáb 21 Fev 2015, 13:15

Carlos

Muito boa a sua solução.
Embora não invalide a sua solução, existe uma digitação errada na 1ª linha:

O correto é sen²α = ( 1 - cos2α)/2 ---> sem o sinal de raiz quadrada