Combinação

(Efomm) Considere uma loja que vende cinco tipos de refrigerantes. De quantas formas diferentes podemos comprar três refrigerantes desta loja?

a) dez
b) quinze
c) vinte
d) trinta e cinco
e) sessenta

Por que o gabarito é D e não A?

Olá Amellia;

Imagine que sejam os refrigerantes: a, b, c, d, e. Temos a seguinte equação linear, no momento da compra:

a + b + c + d + e = 3

Ou seja, a soma dos refrigerantes deverá ter como resultado 3. Alguns exemplos concretos, sendo a = 3, logo b = c = d = e = 0. Compramos 3 refrigerantes do tipo a, é um possível caso. Outros exemplos, a = b = c = 1, logo, d = e = 0. Compramos 3 refrigerantes um do tipo a, um do tipo b e um do tipo c. Uma maneira clássica de resolver tal problema é aplicar o Método bola traço, sugiro ler esse artigo. Em síntese, trata-se do número de soluções não inteiras não negativas de tal equação.

*** | | | | = Essa solução trata-se da primeira situação já citada, sendo a = 3 e o resto dos refrigerantes não adquirimos nenhum deles. Imagine um anagrama, feito com bolas e traços. A quantidade de maneiras de formar esse anagrama é:

(7!)/(3!4!) = (7.6.5.4!)/(3.2.1.4!) = (7.5) = 35.

Consegui compreender agora. Muito obrigada.

Veja as soluções

Três iguais --> aaa, bbb, ccc, ddd, eee --> São 5 possibilidades

Dois iguais --->

aab, aac, aad, aae
bba, bbc, bbd, bbe
cca, ccb , ccd , cce
dda, ddb, ddc, dde
eea, eeb, eec, eed ---> São 20 possibilidades

Três diferentes ---> C(5, 3) = 5!/3!(5 - 3)! = 5.4.3!/3!.2! = 10 possibilidades:

abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde

5 + 20 + 10 = 35

Muito obrigada, mestre Elcio.