FAMECA - Análise combinatória

Os números de telefone fixo de certa cidade possuem 8 dígitos, começando sempre com 3. Esses números podem ser representados por 3n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 , com n1 podendo ser qualquer algarismo de 0 a 9. Nessa cidade, as pessoas chamam de número de telefone “curioso” todo aquele em que n1 n2 n3 é exatamente igual a n4 n5 n6 , ou a n5 n6 n7 (ou igual a ambos). Nas condições dadas, o total máximo de números de telefone diferentes dessa cidade que podem ser chamados de “curiosos” é 

(A) 18800. 
(B) 18890. 
(C) 19900. 
(D) 19980.
(E) 19990. 

GABARITO: Alternativa E

Fala, Mariana.
A estratégia aqui é dividir em casos e aplicar o princípio da inclusão-exclusão.

Primeiro caso:
n1,n2,n3 = n4,n5,n6.
Como n1,n2 e n3 podem ser {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, temos 10*10*10*1*1*1*10 = 10000 maneiras de construir esse número.
(n1,n2,n3,n7 podem ser qualquer um dos 10, mas n4,n5,n6 são definidos por n1,n2,n3 respectivamente)

Segundo caso:
n1,n2,n3 = n5,n6,n7.
Há 10*10*10*10*1*1*1 = 10000 maneiras de construir esse número.

Só que repare que estamos contabilizando certos casos mais de uma vez, por exemplo o telefone 3777-7777 está dentro do primeiro caso pois n1,n2,n3 = n4,n5,n6 e dentro do segundo pois n1,n2,n3 = n5,n6,n7.

Então, deveremos analisar um terceiro caso onde n1,n2,n3 = n4,n5,n6 e n1,n2,n3 = n5,n6,n7 simultaneamente. Mas, se n1 = n4 e n1 = n5 -> n5 = n4. Se n2 = n5 e n2 = n6 -> n6 = n5. Se n3 = n6 e n3 = n7, n7 = n6. Concluindo, n1=n2=n3=n4=n5=n6=n7 (é o caso do 3777-7777 que falamos).

Daí teríamos 10*1*1*1*1*1*1 = 10 maneiras possíveis de criar esses números.

Pelo princípio da inclusão-exclusão:
n(AUB) = n(A) + n(B) - n(AՈB) onde A representa o conjunto dos números formados pelo primeiro caso e B representa o conjunto dos números formados pelo segundo caso.

n(AUB) = 10000 + 10000 - 10 = 19990