Lentes Esféricas + Cinemática

Gostaria de saber como realizar essa questão. Me deparei com dificuldades para resolvê-la e não consegui encontrar a resolução em lugar nenhum.

(IME 2020) Uma partícula emite um feixe laser horizontal de encontro a uma lente convergente de distância focal f. Após ser desviado, o feixe atinge um anteparo localizado depois do foco da lente. Sabendo que a partícula, a lente e o anteparo estão em movimento em velocidade escalar v nos respectivos sentidos indicados na figura, a aceleração do ponto de impacto do feixe, no referencial do anteparo, é:

a) [latex]\frac{v^{2}}{4f}[/latex]


b) [latex]\frac{v^{2}}{3gf}[/latex]


c) [latex]\frac{v^{2}}{2f}[/latex]


d) [latex]\frac{2v^{2}}{f}[/latex]


e) [latex]\frac{4v^{2}}{f}[/latex]

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Elcioschin escreveu:Bem-vindo ao fórum.
Para ser bem atendido você precisa conhecer e seguir nossas Regras.
Nesta 1ª postagem você não respeitou a Regra IX: o texto completo do enunciado deve ser digitado.
Por favor EDITe sua postagem original.

Obrigado por me receber. Editei a postagem como solicitado.

Adotou-se um referencial sobre a lente, desta forma a velocidade da lente é nula e o anteparo afasta-se com velocidade [latex]2v[/latex]  enquanto o laser aproxima-se com velocidade v, ambas na direção horizontal. Na direção vertical, o movimento do feixe de laser permanece inalterado. Assim, a situação inicial está representada na figura abaixo:

 

Tem-se a semelhança de triângulos equacionada abaixo:

[latex]\frac{d_{o}}{f}=\frac{x_{1}}{L_{o}-f}[/latex]


[latex]x_{1}=\frac{d_{o}.L_{o}}{f}-d_{o}[/latex]


Para uma situação em um tempo genérico t, vem:




A nova semelhança de triângulos fica:

[latex]\frac{d(t)}{f}=\frac{x_{2}}{L(t)-f}[/latex]


Onde:


[latex]d(t)=d_{o}+v.t[/latex]




[latex]L(t)=L_{o}+2v.t[/latex]


Substituindo:

[latex]\frac{d_{o}+vt}{f}=\frac{x_{2}}{L_{o}+2v.t-f}[/latex]



Isolando  [latex]x_{2}[/latex] :


[latex]x_{2}=\frac{d_{o}.L_{o}}{f}-d+\frac{2d_{o}.v.t.L_{o}+2v^{2}.t^{2}}{f}-vt[/latex]


Note que:


[latex]x_{2}=x_{1}+\frac{2d_{o}.v.t.L_{o}+2v^{2}.t^{2}}{f}-vt[/latex]


Comparando com a expressão horária do movimento, a aceleração é dada pelo termo com [latex]t^2[/latex] . Assim: 


[latex]\frac{a}{2}=\frac{2v^2}{f}[/latex]


[latex]a=\frac{4v^2}{f}[/latex]

Observação: Vale notar que foi desconsiderado o efeito Doppler relativístico, pois haveria variação da frequência incidente sobre a lente. Com isso, essa variação de frequência acarretaria uma variação no índice de refração da lente o que implicaria em uma mudança na distância focal (calculável pela equação dos fabricantes de lente). Esta análise foge drasticamente do esperado na prova, portanto foi ignorada

Créditos: Estratégia Vestibulares