FUVEST 2020 2 Fase Geo plana/núm. complexos

Fuvest 2020 Segunda Fase
Resolva os itens abaixo: 

c) Determine as partes reais de todos os números complexos z tais que asrepresentações de z ݅i,e 1 no plano complexo sejam vértices de um triângulo equilátero.

Alguém pode me explicar de maneira clara essa questão, por favor?

z = i representa o ponto A = (0,1) no plano complexo;
z = 1 representa o ponto B = (1,0) no plano complexo;
z = a + bi representa o ponto C = (a,b) no plano complexo;
Para que seja formado um triângulo equilátero, é necessário que a distância entre C e os outros pontos sejam igual ao lado do triângulo.
Calculando o lado do triângulo(pois 2 pontos já são dados):
[latex] d_{A,B}=\sqrt{(0 - 1)^2 + (1 - 0)^2}=\sqrt{2} [/latex]
Agora basta igualar a distância entre AC e BC a raiz de 2:
[latex] d_{A,C}=d_{B,C}=\sqrt{2}
\rightarrow \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 1)^2}=\sqrt{2} \rightarrow a^2+b^2-2b+1=2 \:(I)
\rightarrow \sqrt{(a - 1)^2 + (b - 0)^2}=\sqrt{2} \rightarrow a^2-2a+1+b^2=2\:(II) [/latex]
Montando o sistema com I e II:
[latex] \left\{\begin{matrix} a^2+b^2-2b+1=2 \:(I)\\ a^2-2a+1+b^2=2 \:(II)\end{matrix}\right. \overset{I-II}{\rightarrow} -2b+2a=0 \therefore a=b [/latex]
Queremos a parte real de z, que é o valor a, portanto basta trocar b por a em qualquer uma das duas relações e encontrar o seu valor:
[latex] (I): a^2+a^2-2a+1=2\rightarrow 2a^2-2a-1=0 
\therefore a=\frac{1+\sqrt{3}}{2} \:ou \: a=\frac{1-\sqrt{3}}{2} [/latex]

valeu demais, mais claro que todas resoluções do youtube.