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ONC 2020 2 fase

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Mensagem por Alex4 Qui 26 Ago 2021, 21:51

ONC 2020  Se alguém ficar olhando para cima durante a noite, em algum momento, alguma estrela visível passará pelo zênite (ponto acima da cabeça, na direção vertical). Essa estrela estará viajando de leste para oeste e, após 23 h 56 min, passará novamente pelo zênite da pessoa, caso esteja no mesmo lugar. Digamos que, às 20 h 30 min de 20 de abril de 2020, um veleiro de alta performance inicie sua viagem a partir da cidade do Porto, em Portugal, no exato momento que, no seu zênite, estava passando a estrela Vega, uma das mais brilhantes do Céu Europeu. Trinta minutos antes, a mesma estrela estava passando pelo Zênite da cidade espanhola de Mazaleòn, localizada no Meridiano de Greenwich. Para acompanhar Vega, mantendo-a no zênite, seria necessário navegar com velocidade de 21,0 km/min. 

Fontes: Modificadas de https://doi.org/10.1590/1806-9126-rbef-2019-0025. e de http://www.barcelonaworldrace.org/es/educacion/programa-educativo/explora/navegacion/tecnologia-del-imoca60/posicionamiento/sistema-de-coordenadas-geograficas 

Às 21 h 14 min do dia 24 do mesmo mês, o capitão desse veleiro reconheceu a estrela Vega no céu. Ela estava exatamente no zênite em relação ao veleiro. Sobre esse momento da viagem, responda as perguntas abaixo. a) Quantos quilômetros o veleiro se afastou da cidade de Porto? b) Qual a posição do veleiro em coordenadas geográficas?
 Dados: ● Um grau de longitude na latitude da cidade de Porto corresponde a um arco de 84 km. ● Para um barco acompanhar uma estrela no zênite velejando sobre a linha do equador precisaria ter uma velocidade de 28 km/min. ● Considere que o planeta Terra é uma esfera perfeita

Alex4
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Mensagem por gabriel de castro Sex 27 Ago 2021, 19:26

Saravá Alex,

a) Repare que, no primeiro parágrafo temos uma informação quase oculta que a estrela sofreu após um dia um atraso de 4 min, pois ao contrário do que pensávamos a estrela não retornou ao zênite 24 h depois. Então, assumindo que o velejador se movimentou na mesma latitude, podemos a partir dos dados do Porto no dia 20 de abril calcular que no dia 24 desse mês a estrela estava no zênite às 20h14min (atrasou 16 minutos ao longo desses dias). Por fim, utilizando a informação do enunciado que para acompanhar a estrela no zênite seria necessário que o veleiro se movimentasse com velocidade igual a 21,0 km.min-1 e calculando a diferença em minutos entre a hora da observação na cidade do Porto e nessa posição qualquer, podemos fazer o seguinte: 

[latex]S=S_{0}+V.\Delta t\;\Rightarrow\;S=21.(1274-1214)\;\therefore\;\boxed{S=1260\;km}[/latex]

Portanto, estamos a 1260 km da cidade do Porto em Portugal;

b) Para essa alternativa repare no dado que na linha do Equador é necessário se mover com velocidade igual 28 km.min-1 para acompanhar a estrela α da constelação de Lira. Por fim, nome que a velocidade dada para a latitude da cidade portuguesa é diferente e ao traçarmos um triângulo retângulo (uma opção interessantíssima para não termos que usar Trigonometria Esférica) conseguimos chegar na seguinte situação: 

[latex]\cos\left ( \phi \right ) =\frac{V_{Porto}}{V_{Equador}}\;\Rightarrow\; \phi =\arccos \left (\frac{21}{28} \right )\;\therefore\;\boxed{\phi\simeq 41,4^{\circ}\;\text{N}}[/latex]

Agora, devemos descobrir a distância entre o meridiano do veleiro e aquele que passa por Greenwich, mas já sabemos nossa distância a cidade portuguesa, portanto, basta calcularmos a distância Porto-Greenwich sabendo que no dia 20 de abril Vega passou pelo zênite de Mazaleòn (cidade que está no meridiano de Greenwich) 30 min antes de passar na cidade dos gajos. Então, temos o seguinte:

[latex]S=V.\Delta t\;\Rightarrow\;S=21.30\;\therefore\;S=630[/latex]

Calculado isso, sabemos que estamos a 1890 km do meridiano originário e com a seguinte informação do enunciado "um grau de longitude na latitude da cidade de Porto corresponde a um arco de 84 km" conseguiremos montar uma regra de três como abaixo:

[latex]\frac{1^{\circ}}{\lambda }=\frac{84\;km}{1890\;km}\;\therefore\;\boxed{\lambda=22,5^{\circ}}[/latex]

Obs1.: Você não transcreveu a questão fidedignamente e na prova original possuem informações valorosas para chegarmos na conclusão correta;
Obs2.: Na segunda fase da ONC é admitido o uso de calculadoras? 

Espero ter ajudado Smile


Última edição por gabriel de castro em Qui 02 Set 2021, 14:31, editado 1 vez(es) (Motivo da edição : Correções nos cálculos)

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Mensagem por Alex4 Sex 27 Ago 2021, 19:38

realmente, não consegui anexar o aquivo da questão completa :/
não pode calculadora

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Mensagem por Alex4 Sex 27 Ago 2021, 19:38

Muito obrigado!!

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Mensagem por Alex4 Sex 27 Ago 2021, 20:11

só não entendi como vc montou esse triângulo retângulo ...

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Mensagem por gabriel de castro Sex 27 Ago 2021, 20:54

@Alex4 escreveu:não pode calculadora
Que estranho, porque para calcular essa coordenadas é muito proveitoso a utilização de funções inversas e até nas olimpíadas de Astronomia são permitidas e sobre as fotos: tudo certo então, mas é bom dar uma olhada no tutorial do fórum para anexação de imagens, pode ser que esteja fazendo errado. Mas, deixando de papo furando estarei deixando abaixo a representação de como eu imaginei os triângulos retângulos: 

ONC 2020 2 fase Coorde10

Primeiramente, no triângulo das latitudes temos o roxo/rosa que representa a "velocidade da estrela" no equador e azul/roxo sinaliza a velocidade para aquela latitude. Seguindo para a longitude, temos o verde que representa o raio da Terra e o azul claro que é o "arco" da localização até Greenwich. 
Sei que pode causar estranheza em um primeiro momento, mas as ferramentas são aplicáveis para problemas de Ensino Médio e até em questões da OLAA essas ideias são aplicadas.

Espero ter sanado as dúvidas Smile

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Mensagem por gabriel de castro Qui 02 Set 2021, 14:35

Salve Alex, 

Estava revisando esse tópico e percebi dois erros crassos nos cálculos da alternativa a) e no cálculo da longitude de onde o veleiro se encontrava. Então, peço que esqueça o que disse sobre o triângulo retângulo referente ao λ, pois utilizei uma conclusão errada. Além disso, já modifiquei a resolução e agora ela está correta 

Grato, 
Gabriel

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Mensagem por Alex4 Qui 02 Set 2021, 15:10

Questão complicadinha 😅

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Mensagem por gabriel de castro Qui 02 Set 2021, 15:18

Sim sim, questão muito bem construída e complicada

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Mensagem por Alex4 Qui 02 Set 2021, 17:14

https://www.youtube.com/watch?v=vffwbxaf0YU

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