ANÁLISE COMBINATÓRIA

Determine a quantidade de anagramas da palavra CARTADA de modo que nenhuma letra ocupe a mesma posição original. 

gabarito: 24

Comentário: Se não houvessem letras repetidas, sei que esse problema sairia por simples aplicação da fórmula de permutação caótica (desarranjo). Mas, como o A se repete 3 vezes, tal aplicação direta não é válida. Pensei em enumerar todas as possibilidades, mas leva um tempo bem maior. Alguém teria alguma estratégia específica para a resolução desse tipo de questão?

Não sei dizer se eu errei em algum ponto do meu desenvolvimento, pois o resultado que obtive diverge do gabarito. Peço para alguem por favor verificar.

(I)Três das quatro consoantes vão ocupar as posições originais do trio de A 's, gerando 3! permutações para cada uma das [latex]C_{4,3}[/latex] seleções.
(II) Uma das consoantes(A que sobrou da escolha em (I)) vai ocupar uma das posições originalmente pertencentes às consoantes, mas só 3 das quatro posições são válidas
(III) Uma vez definida a posição da consoante mencionada em (II) a posição do trio A's também estará.

[latex]C_{4,3 }\cdot 3! \cdot 3 = 72[/latex]

Outro modo de analisar

Os três A não podem ocupar a 2ª, nem a 5ª nem a 7ª posição.
Existem portanto 4!/3! = 4 possibilidades:

C A R T A D A

A _ A A _ _ _
A _ A _ _ A _
A _ _ A _ A _
_ _ A A _ A _

Para o 1º caso C, R, T podem ocupar qualquer casa vazia e D pode ocupar 3 casas vazias

Para o 2º caso C, R, D podem ocupar qualquer casa vazia e T pode ocupar 3 casas vazias

E assim por diante.