[IME 2010/2011] Análise Combinatória e Probabilidade

por coqzieiro21 Qua 01 Set 2021, 15:09

O pipoqueiro cobra o valor de R$ 1,00 por saco de pipoca. Ele começa seu trabalho sem qualquer dinheiro para troco. Existem oito pessoas na fila do pipoqueiro, das quais quatro têm uma moeda de R$ 1,00 e quatro uma nota de R$ 2,00. Supondo uma arrumação aleatória para a fila formada pelas oito pessoas e que cada uma comprará exatamente um saco de pipoca, a probabilidade de que o pipoqueiro tenha troco para as quatro pessoas que pagarão com a nota de R$ 2,00 é:

a) 1/8

b) 1/5

c) 1/4

d) 1/3

e) 1/2

Gabarito:

1/5:

Tem como fazer essa questão de uma forma direta, sem ter que verificar caso a caso?

Very Happy

por **Elcioschin** Qua 01 Set 2021, 19:17

Total de possibilidades de formar a fila = 8!/4!.4! = 70

O 1º da fila tem que ter 1 moeda
O 2º tanto pode ter 1 moeda quanto uma nota:

a)Se o 2º tiver uma nota ele dá a moeda de troco e fica sem troco. Neste caso o 3º deverá ter uma moeda

b) Se o 2º tiver uma moeda ele passa a ter 2 moedas de troco. Neste caso o 3º pode ter moeda ou nota

E assim por diante

por JaquesFranco Dom 24 Mar 2024, 23:21

Uma sugestão de solução é utilizando o princípio da reflexão.

Representando no eixo cartesiano os seguintes movimentos: andar diagonalmente pra cima representa que o próximo da fila tem uma moeda, e diagonalmente pra baixo representa que o próximo tem uma nota. Para N pessoas na fila teriamos um total de (N escolhe N/2) caminhos de (0,0) até (N,0).
Para que o pipoqueiro sempre tenha troco é necessário que o caminho não passe por x = -1, utilizando o princípio da reflexão existem (N escolhe N/2 -1) caminhos que passam por x = -1.
Logo, a probabilidade que o pipoqueiro sempre tenha troco é 1 - (N escolhe N/2 - 1)/(N escolhe N/2)

Para N = 8:
1 - (8 escolhe 3)/(8 escolhe 4) = 1 - 56/70 = 14/70 = 1/5