Mensa - organização para superdotados

por _Arthur_ Sáb 10 Jul 2021, 02:19

Um cubo de madeira com cada lado medindo 30 cm é pintado completamente de vermelho; depois, ele é serrado em 27 cubos menores de 10 cm de lado cada um. Quantos serão os cubinhos resultantes que terão apenas duas faces pintadas?
Gabarito:

Spoiler:

por fernandalnh Sáb 10 Jul 2021, 09:57

Oi! Eu fiz assim:

Sabendo que cada face inicial é 30 x 30 e e depois fica 10 x 10, cada face vai resultar em nove quadradinhos, certo? Porque vai haver três na horizontal e na primeira linha e três na vertical e na primeira linha. Fazendo 3.3= 9 quadrados.

O importante da questão é notar que entre duas faces subjacentes há o mesmo quadradinho do meio (aquele que fica nas colunas extremas e entre o de cima e o de baixo; justamente os que serão pintados em apenas dois lados). Logo, podemos ver que em cada "fronteira" existe apenas um quadrado.

Note que as fronteiras coincidem com as arestas. Usando a fórmula de Euler:

V + F = A + 2

8 + 6 = A + 2, A= 12

Logo, se há 12 arestas, há 12 quadrados compartilhados entre dois lados e, portanto, dois quadrados pintados em apenas duas faces.