Análise Combinatória

por Bruna Ce Qui 24 Jun 2021, 10:17

Um trenzinho infantil formado por uma locomotiva - guiada por um adulto - tem 10 vagões idênticos enfileirados, nos quais as crianças viajam sentadas, uma em cada vagão.

Quatro pares de irmãos, formados por um menino e uma menina cada, irão ocupar oito vagões do trem para dar início a um passeio. De quantas maneiras distintas as crianças podem ocupar o brinquedo, de modo que cada irmão sente-se próximo à sua irmã, em vagões consecutivos?

a) 360
b) 720
c) 2.880
d) 5.760
e) 11.520

por **Elcioschin** Qui 24 Jun 2021, 13:14

Sejam Aa, Bb, Cc, Dd, os 4 pares de irmãos

Sobram 2 vagões que deverão ficar vazios.

Total de possibilidades para ficarem os 2 vagões vazios:

n' = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ---> n' = 45

Para os demais 8 vagões ocupados:

Para o 1º vagão existem 8 possibilidades, por exemplo A
Para o 2º vagão existe apenas 1 possibilidade: a
Para o 3º vagão existem 6 possibilidades, por exemplo B
Para o 4º vagão existe apenas 1 possibilidade: b
Para o 5º vagão existem 4 possibilidades, por exemplo C
Para o 6º vagão existe apenas 1 possibilidade: c
Para o 7º vagão existem 2 possibilidades, por exemplo D
Para o 8º vagão existe apenas 1 possibilidade: d

n" = 8.1.6.1.4.1.2.1 ---> n" = 384

n = n'.n" ---> n = 45.384 ---> n = 17 280

Tens certeza das alternativas?

por Bruna Ce Qui 24 Jun 2021, 19:02

Tenho certeza =/ É isso que está escrito na questão mesmo

por **PedroF.** Qui 24 Jun 2021, 19:15

Olá, colegas Análise Combinatória 1f609

. Acredito que a questão esteja correta, e o Elcioschin se equivocou na contagem das possibilidades para os dois vagões vazios. Esses 2 vagões devem "dividir" os outros em grupos com número par de vagões (veja a imagem)

Assim, as possibilidades para os dois vagões são reduzidas a :
n'= 1+2+3+4+5 = 15

Logo, a partir do n" (permutação do demais vagões) encontrado pelo grande mestre Elcioschin, a resposta seria:
n = n".n' = 15 * 384 = 5760 Alternativa (D)

por **Elcioschin** Qui 24 Jun 2021, 19:23

Corretísssimo!

por Bruna Ce Qui 24 Jun 2021, 19:29

Obrigada pessoal!! Só não entendi essa conta dos vagões vazios: como assim 1 + 2 + 3 + 4 + 5? O que esses números representam?

por **PedroF.** Qui 24 Jun 2021, 20:10

Na minha opinião essa é a parte mais difícil do problema. Como são poucas possibilidades, é possível contar uma a uma. Mas vamos simplificar. Numerando os vagões (apenas para explicar melhor):

Inicialmente veja que se escolhermos um vagão de número ímpar para ser 1 vazio, o outro vazio terá que ser um de número par maior que o ímpar escolhido. Assim, escolhendo o de n° 1 o outro poderá ser (2, 4, 6, 8, 10); escolhendo n° 3 o outro poderá ser (4,6,8,10); escolhendo n° 5 o outro poderá ser (6,8,10); escolhendo n° 7 o outro poderá ser (8,10); e por fim escolhendo n° 9 o outro será (10).

Generalizando para n vagões (sendo n par):
escolhendo: o outro será:
1 ------------------- (2,4,6,8,...,n)
3 ------------------- (4,6,8,...,n)
...
n-1 ------------------ (n)

[latex]P=\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}}k[/latex]

obs: Para n ímpar acredito que o raciocínio iria mudar um pouquinho. Essa foi a forma mais simplificada que consegui pensar. Acredito que o fato de 45 (resultado encontrado por Elcioschin) ser o triplo de 15 não deve ser coincidência também. Análise Combinatória 1f609

por **Elcioschin** Sex 25 Jun 2021, 15:33

O raciocínio é exatamente este. Quando eu encontrei 45, foi assim:

Considerando 1 vazio existem 9 possibilidades para o outro vazio.
Considerando 2 vazio existem 8 possibilidades para o outro vazio.
Considerando 3 vazio existem 7 possibilidades para o outro vazio.
..........................................................................................
Considerando 9 vazio existe 1 possibilidade para o outro vazio.

Neste caso, o total seria 9 + 8 + 7 + .... + 1 = 45

Mas, como muito bem observou o Pedro, existe a questão dos vagões ocupados estarem sempre em números pares, para poder ter 1, 2, 3, ou 4 casais juntos

Nesto caso, ao invés de 1 + 2 + ... + 9 , o correto é 1 + 2 + 3 + 4 + 5

por **Elcioschin** Ter 19 Jul 2022, 10:07

Eis as 15 possibilidades, sendo V cada vagão vazio:

V V _ _ _ _ _ _ _ _
V _ _ V _ _ _ _ _ _
V _ _ _ _ V _ _ _ _
V _ _ _ _ _ _ V _ _
V _ _ _ _ _ _ _ _ V

_ _ V V _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ V V _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ V V _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ V V

_ _ _ _ V V _ _ _ _
_ _ _ _ V _ _ V _ _
_ _ _ _ V _ _ _ _ V

_ _ _ _ _ _ V V _ _
_ _ _ _ _ _ V _ _ V

_ _ _ _ _ _ _ _ V V

por **Mateus Meireles** Seg 01 Ago 2022, 12:30

Olá a todos,

Uma outra solução seria a seguinte:

Vamos considerar cada par de irmãos como um bloco que ocupa dois espaços consecutivos, ou seja, devemos organizar em fila 4 blocos (um para cada par de irmãos) e 2 espaços vazios. Assim, temos

B₁⠀B₂⠀B₃⠀B₄⠀V₁⠀V₂

É possível organizar tais blocos (que correspondem aos irmãos) e os espaços vazios de 6!/2! = 360 modos. Note que permutamos 6 elementos (4 blocos diferentes, pois cada um corresponde ao grupo de irmãos, e 2 espaços vazios) com repetição de 2 deles (os espaços vazios são "iguais", não há diferença entre eles), por isso 6!/2!. Em seguida, devemos escolher a ordem de cada irmão dentro de cada bloco, o que pode ser feito de 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁴ modos.

E daí, (6!/2!) · 2⁴ = 5760.

Abs.