Analise Combinatória

De quantas maneiras se pode distribuir 2n objetos do tipo O₁, 2n objetos do tipo O₂ e 2n objetos do tipo O₃ por duas pessoas de modo que cada pessoa receba 3n objetos.

Gabarito: 3n²+3n+1

Distribuído para uma pessoa, as quantidades distribuídas para a outra já ficam determinadas. Então, o problema equivale a calcular o número de soluções inteiras não negativas da equação:

x + y + z = 3n
com x ≤ 2n , y ≤ 2n , z ≤ 2n

Isso equivale a calcular o total de soluções (para quaisquer x, y, z inteiros não negativos) e eliminar os casos (x > 2n ou y > 2n ou z > 2n):

I)
total: número de soluções inteiras não negativas da equação:
x+ y + z = 3n :
que vale: CR(3,3n) = C(3n+2,3n)

II)
x + y + z = 3n, com x > 2n :
fazendo x = 2n + 1 + t
equivale a calcular o número de soluções inteiras não negativas da equação:
t + y + z = n - 1
CR(3,n-1) = C(n+1,n-1)

Os casos em que y > 2n ou z > 2n são análogos, logo a resposta é C(3n+2,3n) - 3C(n+1,n-1).
S = C(3n+2,3n) - 3C(n+1,n-1)
S = [(3n+2)!]/[(3n)!2!] - [3(n+1)!]/[(n-1)!2!] 
S = (3n+2)(3n+1)/2  - 3(n+1)n/2
S = [(9n² + 9n + 2) - 3(n² + n)] / 2
S = ( 6n² + 6n + 2)/2
S = 3n² + 3n + 1

obs.:
C(n,p) = combinação simples
CR(n,p) = combinações completas , onde CR(n,p) = C(n+p-1,p)

questão difícil..