Combinatória

18) Para cada uma das 30 questões de uma prova objetiva são apresentadas 5 alternativas de respostas, das quais somente uma é correta. Considere as afirmações relativas à prova:
I - Existem no máximo 150 maneiras diferentes de responder à prova.
II - Respondendo aleatoriamente, a probabilidade de errar todas as questões é (0,8)(expoente 30)
III - Respondendo aleatoriamente, a probabilidade de exatamente 8 questões estarem corretas é (30/8) (0,2)(expoente 8)(0,8)²²
Analisando as afirmações, concluímos que
a) apenas III é verdadeira
b) apenas I e II são verdadeiras
c) apenas I e III são verdadeiras
d) apenas II e III são verdadeiras
e) I, II e III são verdadeiras.

Resposta: D

Hola.

i) Como cada questão tem 5 alternativas e temos 30 questões, o número de maneiras de responder as 30 questões é 530. Como 530 é muito maior que 150 , a alternativa é falsa

ii) A probabilidade de errar uma dada questão é 4/5 ou 0,8. Logo, como as questões são independentes, temos que a probabilidade de errar todas as questões é 0,8^30. Correto

iii) A probabilidade de acertar uma dada questão é 1/5 ou 0,2. O número de escolher 8 questões entre 30 é: C30,8.

Daí acertar exatamente 8 questões dentre as 30 é: C30,8 * (0,2)^8 * (0,^22. Correto.

Resposta letra d.

não entendi como você chegou ao 530 me ajudem :'(

Entendi! esse 30 está elevado, desculpe-me 

Estou com dúvidas no item III. Espero que alguma alma caridosa tenha paciência de ler e responder isso.

*A primeira dúvida é:

Se ele quer a probabilidade de acertar exatamente 8 questões, 2 coisas têm que acontecer:
1)Acertar 8 questões ---> (Evento A)
2)Errar 22 ---> (Evento B)

Certo?

Os 2 eventos são independentes, então P(A∩B)=P(A).P(B)= ((0,2)^8 ).((0,8 )^22)
Pra mim, a questão acabaria aí. Não entendo por quê tenho que levar em consideração as combinações(C30,8 ). 

*Porém, pensando sobre essa primeira dúvida, me surgiu ainda outra, que é a seguinte:

Se ele quer a probabilidade de acertar 8 questões, não poderia ser a quantidade de formas de acertar 8 questões(aí sim C30,8 ) sobre a quantidade total de formas de responder a prova(5^30)?