Física 1 - atrito, forças,

Uma caixa de massa m encontra-se sobre um plano inclinado de ângulo θ. A caixa está presa, por uma corda que passa por uma polia (ambas de massa desprezível), a uma mola de constante elástica k (veja figura abaixo). A caixa é liberada a partir do repouso quando a mola se encontra relaxada. Considere que o atrito da polia é desprezível. Supondo que o plano inclinado não tem atrito, calcule: a) a velocidade da caixa após percorrer uma distância d; b) a distância percorrida pela caixa desde o ponto que foi liberada até o ponto que para momentaneamente.

Olá V0!
Veja a figura das forças que atuam sobre a caixa:



a) Decompondo a força peso na direção perpendicular e paralela ao plano teremos:

[latex]\\\left\{\begin{matrix}P.\cos\theta=N\\P.\sin\theta-F_{el}=ma \end{matrix}\right.\rightarrow\; a=g\sin\theta-\frac{k}{m}x[/latex]

Utilizando que a.dx = v.dv (a igualdade pode ser verificada substituindo a por dv/dt e v por dx/dt):

[latex]\\adx = vdv\rightarrow\int_{0}^{d} adx = \int_{0}^{v} vdv\\\\\rightarrow\int_{0}^{d}\left ( g\sin\theta-\frac{k}{m}x \right )dx = \int_{0}^{v} vdv\\\\\rightarrow gd\sin\theta -\frac{k}{2m}d^2=\frac{v^2}{2}\\\\ \rightarrow \boxed{v=\sqrt{2gd\sin\theta -\frac{k}{m}d^2}}[/latex]

OBS: Uma outra forma de fazer a questão é considerar a conservação de energia. Nesse caso, podemos considerar a energia inicial igual a zero, de modo que a energia final será a soma das energias potencial gravitacional, potencial elástica e cinética. Veja:

[latex]\\E_{inicial}=E_{final}\\\\0 = -mgd\sin\theta+\frac{kd^2}{2}+\frac{mv^2}{2}\\\\ \rightarrow\boxed{v=\sqrt{2gd\sin\theta -\frac{k}{m}d^2}}[/latex]

b) Nesse caso, basta ajustar os limites da integral. Veja:

[latex]\\adx = vdv\rightarrow\int_{0}^{x} adx = \int_{0}^{0} vdv=0\\\\\rightarrow\int_{0}^{x}\left ( g\sin\theta-\frac{k}{m}x \right )dx = 0\\\\\rightarrow gx\sin\theta -\frac{k}{2m}x^2=0\\\\ \rightarrow \boxed{x=\frac{2mg\sin\theta }{k}}[/latex]

OBS: Novamente podemos optar pela conservação de energia. Nesse caso o corpo terá se deslocado x ao invés de d, e a energia cinética final será zero, já que o corpo para. Veja:

[latex]\\E_{inicial}=E_{final}\\\\0 = -mgx\sin\theta+\frac{kx^2}{2}\\\\ \rightarrow\boxed{x=\frac{2mg\sin\theta }{k}}[/latex]

Obrigado!