Álgebra.

Encontre A, B e C que tornam verdadeira a identidade     e utilize esse resultado para calcular o valor da soma 

.

O valor encontrado será aproximadamente igual a:

a) 1 

b) 1,25 

c) 1,5 

d) 1,75 

e) 2

Acho que tenha que usar PIF.

Cmeçando

2.n + 1 = A.(n + 1).(n + 2) + B.n.(n + 2) + c.n.(n + 1)

2.n + 1 = (A + B + C).n² + (3.A + 2.B + C).n + 2.A

2.A = 1 ---> A = 1/2 ---> I

3.A + 2.B + C = 2 ---> II

A + B + C = 0 ---> III

Calcule A, B, C e faça n = 1, 2, 3, ...

Olá Eduardo!
Não precisa usar PIF, pois cairá em uma soma telescópica, de modo que a maioria dos termos irá cortar. Veja:

[latex]\\\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2}\\\\=\frac{(A+B+C)n^2+(3A+2B+C)n+(2A)}{n(n+1)(n+2)}\\\\ \rightarrow\;A=\frac{1}{2},\;B=1,\;C=-\frac{3}{2}\\\\ \rightarrow\;\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2n} + \frac{1}{n+1} - \frac{3}{2}.\frac{1}{n+2}\\\\ S=\sum_{n=1}^{1004}\left (\frac{1}{2n} + \frac{1}{n+1} - \frac{3}{2}.\frac{1}{n+2} \right )\\\\ S=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{1004}\frac{1}{n}+\sum_{n=1}^{1004}\frac{1}{n+1}-\frac{3}{2}\sum_{n=1}^{1004}\frac{1}{n+2}\\\\ S=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{1004}\frac{1}{n}+\sum_{n=2}^{1005}\frac{1}{n}-\frac{3}{2}\sum_{n=3}^{1006}\frac{1}{n}\\[/latex]
[latex]\\ S=\left (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cancel{\sum_{n=3}^{1004}\frac{1}{n}} \right )+\left (\frac{1}{2}+\frac{1}{1005}+\cancel{\sum_{n=3}^{1004}\frac{1}{n}} \right )-\left(\frac{3}{2}.\frac{1}{1005}+\frac{3}{2}.\frac{1}{1006}+ \frac{3}{2}\cancel{\sum_{n=3}^{1004}\frac{1}{n}}\right )[/latex]
[latex]\\S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{1005}-\frac{3}{2}.\frac{1}{1005}-\frac{3}{2}.\frac{1}{1006}\cong\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=1,25[/latex]

Essa resolução ficou bastante elegante, muito obrigado! Estava enxergando a questão de forma errada.