Guidorizzi - Volume 1
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Guidorizzi - Volume 1
por lima178963 Sex 14 Ago 2020, 21:01
Sejam f e g definidas em ℝ com g(x) ≠ 0 para todo x. Suponha que o lim (x→p) [f(x)/g(x)] = 0. Prove que existe δ > 0 tal que
0 < |x - p| < δ → |f(x)| < |g(x)|
Eu fiz aqui só que eu não sei se isso serve como prova, gostaria que me dissessem.
Demonstração:
Se f(x) < g(x) → 0 < f(x)/g(x) < 1 → -1 < f(x)/g(x) < 1 → |f(x)/g(x)| < 1. Tomando ε = 1, temos que:
|f(x)| / |g(x)| < 1 ∴ |f(x)| < |g(x)|.
0 < |x - p| < δ → |f(x)| < |g(x)|
Eu fiz aqui só que eu não sei se isso serve como prova, gostaria que me dissessem.
Demonstração:
Se f(x) < g(x) → 0 < f(x)/g(x) < 1 → -1 < f(x)/g(x) < 1 → |f(x)/g(x)| < 1. Tomando ε = 1, temos que:
|f(x)| / |g(x)| < 1 ∴ |f(x)| < |g(x)|.
lima178963- Iniciante
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Re: Guidorizzi - Volume 1
por Emanuel Dias Sex 14 Ago 2020, 22:07
Boa prova, eu só mudaria esse -1
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Re: Guidorizzi - Volume 1
por Emanuel Dias Sex 14 Ago 2020, 22:08
Meu post bugou completamente, vou ter que enviar em foto.
Eu havia comentado que a prova está correta, eu só mudaria esse intervalo negativo, as funções podem ser estritamente positiva, além disso, seria interessante explicitar a definição formal do limite para ficar claro porque esse épsilon tomado faz esse trabalho.
Eu havia comentado que a prova está correta, eu só mudaria esse intervalo negativo, as funções podem ser estritamente positiva, além disso, seria interessante explicitar a definição formal do limite para ficar claro porque esse épsilon tomado faz esse trabalho.
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Re: Guidorizzi - Volume 1
por lima178963 Sex 14 Ago 2020, 22:15
Que bom que você curtiu.
Eu coloquei o -1 pra que eu consiga usar a definição de módulo na razão entre f(x) e g(x). Pensei que, pelo fato de f(x)/g(x) ser maior do que zero, ele tem que ser maior do que -1.
Eu coloquei o -1 pra que eu consiga usar a definição de módulo na razão entre f(x) e g(x). Pensei que, pelo fato de f(x)/g(x) ser maior do que zero, ele tem que ser maior do que -1.
lima178963- Iniciante
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Re: Guidorizzi - Volume 1
por Emanuel Dias Sex 14 Ago 2020, 22:20
lima178963 escreveu:Que bom que você curtiu.
Eu coloquei o -1 pra que eu consiga usar a definição de módulo na razão entre f(x) e g(x). Pensei que, pelo fato de f(x)/g(x) ser maior do que zero, ele tem que ser maior do que -1.
De fato, mas também pode significar que a razão das funções é negativa em um ponto, existem casos em que não ocorre. Não está errado, mas se quiser ser mais preciso, pode usar a notação de módulo direto.
Última edição por Emanuel Dias em Sex 14 Ago 2020, 22:47, editado 1 vez(es)
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