[Dúvida] - Números de Dígitos

O inteira A consiste de 666 números 3, e o inteiro B posssui 666 números 6. Quantos dígitos aparecem no produto A.B?

Gabarito:

Spoiler:

Minha tentativa:

Spoiler:

Na verdade a pergunta é o número de algarismos diferentes que aparecem no produto.

Não entendi...

Ai onde estou errando?

666...6=6(999...9)/9
333...3=3(999...9)/9

6(10^666-1)/9* 3(10^666-1)/9

18/81 *(10^666-1)²

2/9(10^666-1)²

me pergunta é como seria daqui pra frente?

Tentei resolver de um jeito simples, dada a seção.
A = 333...3333
B = 666...6666 = 2A
x = 666
AB = 2A² = 2*(3*(10^x - 1)/9)² = 2*(10^2x - 2*10^x + 1)/9
Vamos expandir a subtração 10^2x - 2*10^x:
100000000...
-00002000...
Teremos que mover 1 unidade de cada decimal acima da qual se encontraria o 2, ficando:
9999999...(10-2)000000 = 9999...800...000
Ficando o resultado da expressão em parenteses:
9999...8000...001
Vamos efetuar a divisão por 9 em duas partes:
999999900... + 8000...001
A primeira evidentemente é:
11111...0000
A segunda fica simples se notarmos o desenvolvimento da divisão:
80000...001
80 dividido por 9 é 8 e deixa resto 8 (viu o padrão?No final teremos a divisão exata de 81)
Ficando evidente o resultado:
8888...9
O que procuramos é:
AB = 2*(11111...0888...9)
(Note que o 0 se dá porque na segunda divisão o quociente é 1 ordem de grandeza menor que o dividendo)

2*9 = 18
2*8 = 16
2*1 = 2
Então teremos:
AB = 18 + 16*10 + 16*100 + ... + 16*10^665 + 2*10^667 + ... + 2*10^1332 = 8 + (1 + 6)*10 + (1 + 6)*10 + ... + (6+1)*10^665 + 10^666 + 2*10^667 + ... + 2*10^1332
AB = 2222...1777...8
Que tem os digitos:
1,2,7 e 8.

Euclides, e, a nivel de ensino fundamental e médio, como sabia que só aqueles algarismos se repetiam naquela fração?

Edit: correção em vermelho.

aprentice escreveu:
A primeira evidentemente é:
11111...0000
A segunda fica simples se notarmos o desenvolvimento da divisão:
80000...001
80 dividido por 9 é 8 e deixa resto 8 (viu o padrão?No final teremos a divisão exata de 81)
Ficando evidente o resultado:
8888...9
O que procuramos é:
AB = 2*(11111...0888...9)
(Note que o 0 se dá porque na segunda divisão o quociente é 1 ordem de grandeza menor que o dividendo)

2*9 = 18
2*8 = 16
2*1 = 2
Então teremos:
AB = 18 + 16*10 + 16*100 + ... + 16*10^665 + 2*10^667 + ... + 2*10^1332 = 8 + (1 + 6)*10 + (1 + 6)*10 + ... + (6+1)*10^665 + 10^666 + 2*10^667 + ... + 2*10^1332
AB = 2222...1777...8
Que tem os digitos:
1,2,7 e 8.

Euclides, e, a nivel de ensino fundamental e médio, como sabia que só aqueles algarismos se repetiam naquela fração?

valeu cara teu raciocinio aplicado aqui no meu consigo desenrolar esta bagaça!

então quando chegar aqui

2/9*(10^1332-2*1*10^666+1)
2/9*(999...8000...01)

depois e so aplicar o teu Raciocinio aprentice!

Sim, é um jeito... : D

Hamanujah que lugar é esse caro amigo?