Números de 4 digitos

Quantos números inteiros de 4 dígitos podemos formar a partir dos dígitos do número 123124?

R: 102

São 6 números, sendo que dois deles são repetidos (dois números 1 e dois número 2).

A princípio, haveria 6.5.4.3 = 360 números possíveis. Mas veja que estamos contando números repetidos, devido à repetição do número 1 e do número 2.

Então vamos fazer da seguinte maneira:

I) Vamos considerar todos os números possíveis com 1,2,3 e 4.
Há 4! = 24 maneiras de formarmos os números com esses algarismos.

II) Quando tivermos os dois números 1 e apenas um número 2:

Teremos os casos 1,1,2,3 ou 1,1,2,4. Em ambos os casos, há permutação com repetição. Assim, há 4!/2! = 12 maneiras de formarmos os números (em cada sequência) e, no total, 24 maneiras,

III) Quando tivermos os dois números 2 e apenas um número 1:

Analogamente, 24 maneiras.

IV) Quando tivermos os dois numeros 1 e nenhum numero 2: Temos os algarismos 1,1,3,4:

4!/2 = 12 maneiras.

V) Quando tivermos os dois números 2 e nenhum numero 1:

Analogamente, 12 maneiras

VI) Quando tivermos os dois números 1 e os dois número 2:

4!/2.2 = 6 maneiras.

Somando todos os casos: 3.24 + 2.12 + 6 = 4.24 + 6 = 102 maneiras.