Com os dígitos...

Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, de quantas formas podemos permutá-los de modo que os números ímpares fiquem sempre em ordem crescente?

Resposta: 210

Temos um total de 7 algarismos.
Dos 7 → 4 são ímpares e devemos começar escrevendo todos eles em ordem crescente.
Dos 7 → 3 são pares e podemos escrevê-los em qualquer ordem.

Escrevemos nosso Arranjo : A (7 , 3 )
e resolvemos ele :
A (7 , 3 ) = 7!/ (7- 3)!
A (7 , 3 ) = 7! / 4!
A (7 , 3 ) = 210

entendi o que você fez, mas não seria A(7,4), pois a ordem dos números ímpares contaria como um número só.

ex.:1357246; 2461357; 2413576; ... estaríamos permutando quatro números: 2; 4; 6 e o 1357. Mas desde já agradeço pela força.

não consegui entender essa questão, na solução do iezzi, ele começa com
C(7,4) para as 4 casas em que serão dispostos os números ímpares, mas nessa combinação não estaria sendo considerado os números numa ordem diferente de crescente? como 3157, 1537... por que combinação se a ordem importa? alguém poderia dar uma ajuda?

Olá gabrielfe:
Pense da seguinte forma:os nºs ímpares ( que aparecerão na ordem 1,3,5,7) terão de ser colocados em 4 das 7 posições existentes, por exemplo: 1 _ 3 _ _ 5 7 ou _ _ 1_357, etc. Para a sua colocação, temos então de escolher 4 das 7 posições, daí o número C(7,4). Repare que ao fazermos isto estamos apenas a contemplar uma ordem determinada para os colocar. Se pudessem ser colocados por uma qualquer ordem já seria A(7,4) ou, o que é equivalente, C(7,4)*4!.
No nosso problema, uma resposta possível será C(7,4)*3!=210.
C(7,4)-formas de colocar os 4 ímpares, por ordem crescente;
3!-formas de permutar os 3 pares nos 3 espaços que restam.
Espero que tenha ajudado.
Um abraço

mas o C(7,4) poderia ser válido para com qualquer combinação desses 4 números, não? sabemos apenas que esses 4 números são 1,3,5,7... o que determina, na combinação, que eles estão dispostos de forma crescente?
fora isso, entendi que da forma como estou pensando é arranjo...

- pensando da forma correta (do exercicio) então, se tivesse que ser de forma decrescente, eu teria que utilizar do mesmo C(7,4), certo? ou se pedisse que o 5 venha primeiro, que o 3 venha depois do 5, o 1 depois do 5 e o 7 depois do 1, o mesmo C(7,4) ?

Correto.
Se os nºs ímpares tivessem que estar por uma determinada ordem continuaria a ser C(7,4).

beleza, obrigado pela atenção!