(OBM) Dígitos

Um número de três algarismos é 629 vezes menor que a soma de todos os outros números de três algarismos. Este número é:

A) 450
B) 785
C) 630
D) 471
E) 525

luiseduardo escreveu:Um número de três algarismos é 629 vezes menor que a soma de todos os outros números de três algarismos. Este número é:

A) 450
B) 785
C) 630
D) 471
E) 525

Olá!

Existem 999 - 99 = 900 números de 3 algarismos, cuja soma é:

S = (100 + 999)*900/2 = 494550

x + 629*x = 630*x = 494550
x = 494550/630
x = 785

Alternativa (B)

Obrigado, Ivo, mas me surgiu umas dúvidas:

I) Poderia se encontrar o valor da soma de todos os números sem usar progressão aritmética (ou melhor, sem usar nenhuma fórmula) ?
II) Por que aqui vc somou x + 629*x ? De onde veio esse x da esquerda ?

x + 629*x = 630*x = 494550
x = 494550/630
x = 785


Obrigado.

luiseduardo escreveu:Obrigado, Ivo, mas me surgiu umas dúvidas:

I) Poderia se encontrar o valor da soma de todos os números sem usar progressão aritmética (ou melhor, sem usar nenhuma fórmula) ?
II) Por que aqui vc somou x + 629*x ? De onde veio esse x da esquerda ?

x + 629*x = 630*x = 494550
x = 494550/630
x = 785


Obrigado.

Boa noite, Luís!

I) Para não se usar 'fórmula', teria que ir explicando o cálculo da soma:

100 + 101 + 102 + ... + 997 + 998 + 999 [1]

Observe que a soma do primeiro com o último número é igual à soma do segundo com o penúltimo, e também é igual à soma do termo com o antepenúltimo, e assim por diante, ou seja:

100+999 = 101+998 = 102+997 = 1099 [2]

Na série [1] temos:

999 - 100 + 1 = 900 elementos = 900/2 = 450 grupos de 2 elementos cada.
Como cada grupo de 2 elementos [2] é igual a 1099, a soma de todos os elementos da série [1] deve ser igual a:

450 x 1099 = 494550

II) Como foi informado que um dos elementos é 629 vezes menor que a soma de todos os demais números de três algarismos, então esse 'menor' eu fiz igual a "x" e a soma dos restantes, igual a 629*x.

Ficou claro para o amigo?



Um abraço.

Ah, ok
Sim, ficou bem claro. Obrigado pela ajuda, Ivo. Tudo de bom