Dígitos de um algarismo

por mandeeeti Qua 08 Jul 2015, 23:13

Dado que 0,3010 < log2 < 0,3011, determine quantos dígitos tem 2^300 + 5^300

Resp:210

por **ivomilton** Qui 09 Jul 2015, 00:40

mandeeeti escreveu:Dado que 0,3010 < log2 < 0,3011, determine quantos dígitos tem 2^300 + 5^300

Resp:210

Boa noite,

log(2^300) + log(5^300)

300*0,3010 = 90,3
300*0,6990 = 209,7

90,3 nos mostra que a primeira potência tem 91 algarismos
209,7 nos mostra que a segunda potência tem 210 algarismos

Como na soma da parcela de 91 algarismos com a parcela de 210 algarismos irá prevalecer a que tem maior número de algarismos, a soma indicada deverá possuir 210 algarismos.

Não compreendi porque foi citado que 0,3010 < log2 < 0,3011 ...

Um abraço.

por **jango feet** Sex 10 Jul 2015, 19:45

Só tenho uma dúvida pessoal, as vezes quando somamos dois números como 9999 e 126 por exemplo, o primeiro está entre $10^3\ e\ 10^4$
obviamente tem 4 dígitos o mesmo valendo para o segundo, enfim, a soma dos dois dá um número de 5 dígitos e não de 4. Eis minha dúvida, como proceder então?!

Irei deixar aqui minha pequena contribuição, até para aqueles que não sabem o valor de log5 de cabeça como eu:

$10^x<2^{300}<10^{x+1}\ e\ 10^y<5^{300}<10^{y+1}$

Aplicando logaritmo na base 10 com o dado informado temos as desigualdades:

$x < 300log2 < x+1 \rightarrow x<90,3\ e \ x+1>90,3\rightarrow \therefore \boxed{x=90}$

Efetuando o produto das inequações acima:

$10^{x+y}<(2.5)^{300}<10^{x+y+2}\rightarrow 10^{90+y}<10^{300}<10^{92+y} \rightarrow \ Analogamente:\ 90+y<300\ e\ 92+y>300\rightarrow y<210\ e\ y>208\ \therefore \boxed{y=209}$

Das equações acima concluímos que

$2^{300}\ possui\ 91\ digitos\ e\ 5^{300}\ possui\ 210\$

Na soma prevalece o número com mais dígitos. Como dito pelo ivomilton.

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