lugar geométrico

Qual o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias a duas retas concorrentes é uma constante real positiva k ?

Sejam r: a.x - y + b = 0 e s: m.x - y + n = 0 as duas retas concorrentes no ponto A

Seja t uma reta, passando por A, e ficando entre r, s, tal que um ponto P(x, y) qualquer dela diste D da reta r e d da reta s, sendo D - d = k

D  = |a.x - y + b|/√(a² + 1)

d = |m.x - y + n|/√(m² + 1)

|a.x - y + b|/√(a² + 1) - |m.x - y + n|/√(m² + 1) = k

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Para que o módulo das distâncias às retas dadas seja constante k, o lugar geométrico é uma reta bissetriz a elas.

Para que o valor k seja maior que zero, tal bissetriz não pode passar pelo ponto de convergência das retas dadas.

Portanto o lugar geométrico procurado é uma reta paralela à bissetriz do ângulo formado pelas retas dadas, com exceção da região assinalada no desenho abaixo.



no desenho, tudo o que interessa são as retas em preto e a azul; o resto está lá para mostrar a conformidade ao enunciado.

Portanto o lugar geométrico são duas semirretas, uma iniciando em P1 e seguindo no sentido de P2, a outra iniciando em P3 e seguindo no sentido de P4.