Radiciação

(UVA) a expressão real
Representa:
A) um número irracional
B) um número natural
C)um número inteiro negativo
D) um número racional não inteiro

Em questões desse tipo é sempre bom ver se conseguimos encaixar uma expressão como uma soma elevada ao cubo dentro das raízes para que possamos assim cancelar elas. Sendo assim, veja a expressão da soma elevada ao cubo:
(a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}


Se no lugar de a, utilizarmos a√2, temos:
(a\sqrt{2} + b)^{3} = 2\sqrt{2}a^{3}+6a^{2}b+3\sqrt{2}ab^{2}+b^{3}


Queremos então encontrar esses números a e b de forma que a expressão acima seja igual a que está dentro das raízes. Isolando os termos que multiplicam √2 dos outros:

Igualando com os números que você tem dentro das raízes, nós vamos ter que:

Quase nunca é interessante nessas provas você tentar resolver esses tipos de sistemas na marra devido a falta de tempo, veja que só por inspeção conseguimos descobrir que tomando a = 1 e b = 1 nós temos uma solução (veja os termos entre parenteses!). Portanto trocamos a expressão dentro da primeira raiz por (√2+1)³, e podemos cancelar o expoente com a raiz. Similarmente ao procedimento anterior podemos descobrir que a expressão dentro da segunda raiz pode ser trocada por (√2-1)³. Teremos então:
\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7} = \sqrt{2}+1 - (\sqrt{2}-1) = 2

Acho que não existem controvérsias que o número 2 seja um número natural (ao contrário de um certo outro número), então você pode assinalar a alternativa B.

Lembre-se que: a³ - b³ = (a - b).(a² + a.b + b²)

Faça a = ∛(5.√2 + 7) ---> a³ = 5.√2 + 7

Faça b = ∛(5.√2 - 7) ---> b³ = 5.√2 - 7

a³ - b³ = (5.√2 + 7) - (5.√2 - 7) ---> a³ - b³ = 14

Agora calcule a², b² e a.b e continue.